a, b pozitif tam sayılar ve ( a + \frac{12}{b} = 5 ) olduğuna göre, a’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Cevap:
Bu denklemi çözmek için önce ( b ) değerlerini belirleyelim. Eşitlik şu şekilde verilmiştir:
[
a + \frac{12}{b} = 5
]
Bu denklemi düzenleyelim:
[
a = 5 - \frac{12}{b}
]
a pozitif bir tam sayı olmalıdır, bu yüzden ( \frac{12}{b} ) da tam sayı olmalıdır. Bu, ( b ) sayısının 12’nin böleni olması gerektiği anlamına gelir. Şimdi 12’nin pozitif bölenlerini bulalım: 1, 2, 3, 4, 6, 12
-
( b = 1 ):
[
a = 5 - \frac{12}{1} = 5 - 12 = -7
]Geçerli bir pozitif tam sayı değildir.
-
( b = 2 ):
[
a = 5 - \frac{12}{2} = 5 - 6 = -1
]Geçerli bir pozitif tam sayı değildir.
-
( b = 3 ):
[
a = 5 - \frac{12}{3} = 5 - 4 = 1
]Geçerli bir pozitif tam sayı.
-
( b = 4 ):
[
a = 5 - \frac{12}{4} = 5 - 3 = 2
]Geçerli bir pozitif tam sayı.
-
( b = 6 ):
[
a = 5 - \frac{12}{6} = 5 - 2 = 3
]Geçerli bir pozitif tam sayı.
-
( b = 12 ):
[
a = 5 - \frac{12}{12} = 5 - 1 = 4
]Geçerli bir pozitif tam sayı.
Sonuç:
( a ) için geçerli değerler 1, 2, 3, ve 4’tür. Bu değerlerin toplamı:
[
1 + 2 + 3 + 4 = 10
]
Dolayısıyla, a’nın alabileceği değerler toplamı (\boxed{10}) olacaktır.