Anladığım kadarıyla görselde yer alan problemler içerisinden özellikle bir tanesinin çözümünde yardım istiyorsunuz. Görselde toplamda 6 soru var. Aşağıda her bir sorunun çözümüne matematiksel denklemlerle adım adım yer verdim. Probleminize uygun olanı inceleyebilirsiniz.
1. Soru Çözümü
Soru:
Can, kumbarasından 50 Kr ve 25 Kr’luklardan oluşan toplam 26 adet madeni para çıkarıyor. 25 Kr’lukların 2 tanesi ile 50 Kr’lukların 4’ünü vererek bir kalem alıyor. Kalan 25 Kr ve 50 Kr’lukların sayısı eşit olduğuna göre kumbaradan toplam kaç ₺ çıktı?
Çözüm:
- Varsayalım ki 50 Kr’lukların sayısı x, 25 Kr’lukların sayısı y olsun.
- 50 Kr’luklar ve 25 Kr’lukların toplamı:
$$x + y = 26$$ - Alışveriş sonrası eşit olacak:
$$y - 2 = x - 4$$
$$y = x - 2$$
Adım 1: İlk denkleme bunu yerleştirelim:
$$x + (x - 2) = 26$$
$$2x - 2 = 26$$
$$2x = 28$$
$$x = 14$$
Adım 2: x yerine 14 koyarak $y$’yi bulalım:
$$y = x - 2$$
$$y = 14 - 2$$
$$y = 12$$
Adım 3: Toplam para (50 Kr ve 25 Kr’lukların toplam değeri):
$$50x + 25y = 50(14) + 25(12)$$
$$700 + 300 = 1000$$ (kr)
1000 kuruş = 10 ₺
Cevap: 10 ₺
2. Soru Çözümü
Soru:
Bir çiftçinin 73 tane tavuğu ve horozu var. Horozların 2’sini ve tavukların 21’ini satarsa kalan tavuk ve horozların sayısı eşit olacaktır. Çiftçinin kaç tavuğu vardır?
Çözüm:
- Tavukların sayısı: x
- Horozların sayısı: y
- Toplam hayvan:
$$x + y = 73$$ - Satıştan sonra eşitlik olacak:
$$(x - 21) = (y - 2)$$
Adım 1: İkinci denklemden $x$’i bulalım:
$$x - 21 = y - 2$$
$$x = y + 19$$
Adım 2: İlk denkleme bunu yerleştirelim:
$$(y + 19) + y = 73$$
$$2y + 19 = 73$$
$$2y = 54$$
$$y = 27$$
Adım 3: y = 27 olduğuna göre:
$$x = y + 19$$
$$x = 27 + 19$$
$$x = 46$$
Cevap: 46 tavuk
3. Soru Çözümü
Soru:
Burak’ın mavi ve yeşil renkli toplam 26 bilyesi var. Yeşil bilyelerin 5’ini, mavi bilyelerin 1’ini arkadaşına verirse kalan yeşil ve mavi bilyelerin sayısı eşit olacaktır. Burak’ın kaç yeşil bilyesi vardır?
Çözüm:
- Mavi bilye: x
- Yeşil bilye: y
- Toplam bilye:
$$x + y = 26$$ - Verildikten sonra:
$$(y - 5) = (x - 1)$$
Adım 1: İkinci denklemden $y$’yi bulalım:
$$y - 5 = x - 1$$
$$y = x + 4$$
Adım 2: İlk denkleme bunu yerleştirelim:
$$x + (x + 4) = 26$$
$$2x + 4 = 26$$
$$2x = 22$$
$$x = 11$$
Adım 3: x = 11 olduğuna göre:
$$y = x + 4$$
$$y = 11 + 4$$
$$y = 15$$
Cevap: 15 yeşil bilye
4. Soru Çözümü
Soru:
Bir sınıfta toplam 37 öğrenci vardır. Sınıftan 2 kız, 7 erkek öğrenci ayrılırsa kalan kız ve erkek öğrencilerin sayısı eşit olacaktır. Sınıfta kaç kız öğrenci vardır?
Çözüm:
- Kız öğrenci: x
- Erkek öğrenci: y
- Toplam öğrenci:
$$x + y = 37$$ - Ayrıldıktan sonra:
$$x - 2 = y - 7$$
Adım 1: İkinci denklemden $x$’i bulalım:
$$x - 2 = y - 7$$
$$x = y - 5$$
Adım 2: İlk denkleme bunu yerleştirelim:
$$(y - 5) + y = 37$$
$$2y - 5 = 37$$
$$2y = 42$$
$$y = 21$$
Adım 3: y = 21 olduğuna göre:
$$x = y - 5$$
$$x = 21 - 5$$
$$x = 16$$
Cevap: 16 kız öğrenci
5. Soru Çözümü
Soru:
Bir sepette 18 elma ve portakal vardı. Sepetteki elmaların $1/5$’i, portakalların $1/3$’ü yenince sepette eşit sayıda portakal ve elma kaldı. Sepette kaç portakal vardı?
Çözüm:
- Elma: x
- Portakal: y
- Toplam meyve:
$$x + y = 18$$ - Kaldıktan sonra eşitlik olacak:
$$x - \frac{x}{5} = y - \frac{y}{3}$$
$$\frac{4x}{5} = \frac{2y}{3}$$
Adım 1: Kesirlerden kurtulmak için iki tarafı 15 ile çarpalım:
$$15 \cdot \frac{4x}{5} = 15 \cdot \frac{2y}{3}$$
$$12x = 10y$$
$$\frac{x}{y} = \frac{5}{6}$$
$$x = \frac{5}{6}y$$
Adım 2: İlk denkleme bunu yerleştirelim:
$$\frac{5}{6}y + y = 18$$
$$\frac{11y}{6} = 18$$
$$11y = 108$$
$$y = \frac{108}{11} = 6$$
Cevap: 6 portakal
6. Soru Çözümü
Soru:
Bir rafta 1 L’lik ve 200 mL’lik toplam 46 paket meyve suyu vardır. 1 L’lik meyve suyundan 8 adet, 200 mL’lik meyve suyundan 18 adet satılırsa rafta 1 L ve 200 mL miktarı eşit sayıda paket kalacaktır. Rafta 200 mL’lik kaç paket meyve suyu vardır?
Çözüm:
- 1 L’lik paket: x
- 200 mL’lik paket: y
- Toplam:
$$x + y = 46$$ - Satıldıktan sonra eşitlik olacak:
$$(x - 8) = (y - 18)$$
Adım 1: İkinci denklemden $x$’i bulalım:
$$x - 8 = y - 18$$
$$x = y - 10$$
Adım 2: İlk denkleme bunu yerleştirelim:
$$(y - 10) + y = 46$$
$$2y - 10 = 46$$
$$2y = 56$$
$$y = 28$$
Cevap: 28 paket 200 mL
Herhangi bir sorun olursa lütfen tekrar belirtin! 
@username
1) Soru: Can’ın Kumbarasındaki Madeni Paralar
26 adet 25 Kuruş ve 50 Kuruş içeren para var. Can, 25 Kuruşların 2’sini ve 50 Kuruşların 4’ünü kalem almak için veriyor. Kalan 25 ve 50 kuruşluk madeni paralar eşit sayıda olduğuna göre, kumbaradan çıkan toplam para kaç TL’dir?
Mantıklı Çözüm (Denklemsiz Anlatım):
• Toplam 26 madeni paranın bir kısmı 25 Kuruş, bir kısmı 50 Kuruş olsun.
• Kalem için 2 tane 25 Kuruş ve 4 tane 50 Kuruş gidiyor.
• Geriye kalan 25’likler ve 50’likler eşit sayıda oluyor.
• 50 Kuruş her zaman daha yüksek değerli olduğundan, 50’liklerin sayısı başta mutlaka 25’liklerden biraz daha fazla olmalı.
• Paraları “25’lik 12, 50’lik 14” şeklinde dağıtınca toplam 26 ediyor. Kalem için 2 tane 25 Kuruş ve 4 tane 50 Kuruş gidince her iki cinsten de 10’ar tane kalıyor. Eşitlik sağlandı ve rakamlar tuttu.
• Tüm paranın değeri: 12 tane 25 Kuruş → 3 TL, 14 tane 50 Kuruş → 7 TL, toplam 10 TL.
Cevap: 10 TL
2) Soru: Çiftçinin Tavuk ve Horozları
Toplam 73 tavuk ve horoz var. Çiftçi, 2 horoz ve 21 tavuğu satarsa kalan horoz ve tavuk sayısı eşit oluyor. Başlangıçta çiftçinin kaç tavuğu vardır?
Mantıklı Çözüm (Denklemsiz Anlatım):
• Toplam 73 hayvan var. Tavuk sayısı mutlaka horozdan fazla olmalı.
• Satış sonrası horozlar 2 azalıyor, tavuklar 21 azalıyor. İkisi de eşitleniyor.
• Horoz sayısı görece daha az kayıptan etkilendiğinden, başta horoz adedi büyük farkla küçük olmalı.
• Deneme: Horozu 27, tavuğu 46 alsak; 27 + 46 = 73. 2 horoz satılırsa geriye 25 horoz, 21 tavuk satılırsa geriye 25 tavuk kalır. İkisi de 25 oldu.
• Tavuğun başlangıç sayısı 46.
Cevap: 46
3) Soru: Burak’ın Mavi ve Yeşil Bilyeleri
Burak’ın toplam 26 bilyesi var (mavi + yeşil). Yeşil bilyelerden 5’ini, mavi bilyelerden 1’ini verince geriye kalan yeşil ve mavi bilye sayıları eşit oluyor. Burak’ın başlangıçta kaç yeşil bilyesi vardır?
Mantıklı Çözüm (Denklemsiz Anlatım):
• Toplam 26 bilye. Yeşil bilye sayısı, mavi bilye sayısından belirli bir farkla büyük olmalı (çünkü 5 yeşil ve 1 mavi eksildiğinde eşitleniyor).
• Farkı bulmak için: 5 yeşil gidiyor ve 1 mavi gidiyor; yeşil tarafta daha fazla eksilme var.
• Deneme: 15 yeşil, 11 mavi. Toplam 26. 15 yeşilden 5 gidince 10 kalır; 11 maviden 1 gidince 10 kalır. Eşitlendi.
• Başlangıçta yeşil bilye sayısı 15.
Cevap: 15
4) Soru: Bir Sınıftaki Kız-Erkek Dağılımı
Sınıfta toplam 37 öğrenci var. 2 kız ve 7 erkek ayrılırsa kalan kız ve erkek sayısı eşit olacak. Sınıfta başta kaç kız vardır?
Mantıklı Çözüm (Denklemsiz Anlatım):
• Toplam 37 kişi. Çıkışlarda kız sayısı 2, erkek sayısı 7 azalıyor.
• Sonda ikisi eşit oluyor. Başta erkekler daha fazla olmalı ki 7 erkek çıkınca dengelensin.
• Deneme: Kız 16, erkek 21 → toplam 37. 16’dan 2 çıkınca 14, 21’den 7 çıkınca 14 kalır. Eşit.
• Başlangıçta kız öğrenci sayısı 16.
Cevap: 16
5) Soru: Elma-Portakal Sepeti
Sepette toplam 18 elma + portakal var. 5 elma ve 3 portakal yendiğinde geriye kalan elma ve portakal sayısı eşit oluyor. Başlangıçta sepette kaç portakal vardır?
Mantıklı Çözüm (Denklemsiz Anlatım):
• Toplam meyve 18 tane. Elma sayısı portakaldan genelde fazla olabilir.
• 5 elma, 3 portakal eksildiğinde kalanlar eşit.
• Deneme: 10 elma, 8 portakal → 10 + 8 = 18. 10’dan 5 çıkınca 5 elma, 8’den 3 çıkınca 5 portakal kalır.
• Portakal sayısı 8.
Cevap: 8
6) Soru: Raftaki Meyve Suyu Paketleri
Rafta toplam 46 paket meyve suyu var (1 L’lik veya 200 mL’lik). 1 L’liklerden 8 tane, 200 mL’liklerden 18 tane satılınca geriye kalan iki türden de eşit sayıda paket kalıyor. Başlangıçta 200 mL’lik kaç paket vardı?
Mantıklı Çözüm (Denklemsiz Anlatım):
• Toplam 46 paket. 200 mL’lik daha çok olmalı çünkü 18 satılınca eşitleniyor.
• Deneme: 1 L’lik 18, 200 mL’lik 28 toplamı 46 yapar. 18’den 8 gidince 10 tane kalır. 28’den 18 gidince 10 kalır. Eşit.
• Başlangıçta 28 tane 200 mL’lik paket meyve suyu var.
Cevap: 28
@User
Denklem kurmadan çöz
Merhaba! Aşağıda denklem kurmadan, mantıksal çözüm yöntemleriyle soruları adım adım çözdüm:
1) Soru: Can’ın Kumbarasındaki Madeni Paralar
- Toplamda 26 adet madeni para var: 25 kuruş ve 50 kuruş.
- Can, 2 tane 25 kuruş ve 4 tane 50 kuruş veriyor.
- Geriye kalan 25 kuruş ve 50 kuruşlar eşit sayıda oluyor.
Mantıklı Çözüm:
- Başlangıçta 50 kuruşların sayısı, 25 kuruşların sayısından fazla olmalıdır ki eşitlik sağlansın.
- Dağıtım: 25 kuruş 12 adet, 50 kuruş 14 adet olsun. Toplamda 26 ediyor.
- 2 tane 25 kuruş ve 4 tane 50 kuruş çıkartınca:
- Geriye 25 kuruş → 10 adet, 50 kuruş → 10 adet kalır. (Eşitlik sağlandı).
- Kumbaradan çıkan toplam para:
- 12 tane 25 kuruş → 3 TL
- 14 tane 50 kuruş → 7 TL
- Toplam 10 TL.
Cevap: 10 TL
2) Soru: Çiftçinin Tavuk ve Horozları
- Çiftçinin toplamda 73 hayvanı var: tavuk ve horoz.
- Satış sonrası: 2 horoz, 21 tavuk gidince, kalan tavuk ve horoz sayısı eşit oluyor.
Mantıklı Çözüm:
- Tavukların sayısı horozlardan yüksek olmalı ki satış sonrası eşitlik sağlansın.
- Dağıtım: Tavuk 46, Horoz 27 olsun.
- Satış sonrası:
- Tavuk → 46 - 21 = 25
- Horoz → 27 - 2 = 25
- Eşitlik sağlandı ve toplam hayvan sayısı tuttu (46 + 27 = 73).
Cevap: 46 tavuk
3) Soru: Burak’ın Mavi ve Yeşil Bilyeleri
- Toplamda 26 bilye var (mavi + yeşil).
- 5 yeşil ve 1 mavi arkadaşına veriliyor. Kalan sayılar eşit oluyor.
Mantıklı Çözüm:
- Verilen bilyelerden sonra sayılar eşitleniyor: Yeşiller daha fazla olmalı.
- Dağıtım: Yeşil 15 adet, Mavi 11 adet olsun.
- Yeşil: 15 - 5 = 10
- Mavi: 11 - 1 = 10
- Eşitlik sağlandı ve toplam bilye sayısı tuttu (15 + 11 = 26).
Cevap: 15 yeşil bilye
4) Soru: Sınıftaki Kız-Erkek Dağılımı
- Sınıfta toplam 37 öğrenci var.
- Çıkışlar: 2 kız, 7 erkek ayrılıyor → kalan sayı eşit oluyor.
Mantıklı Çözüm:
- Çıkış sonrası kız ve erkek sayısı eşitleniyor: Erkek sayısı daha fazla olmalı.
- Dağıtım: Kız 16, Erkek 21 olsun.
- Çıkış sonrası:
- Kız: 16 - 2 = 14
- Erkek: 21 - 7 = 14
- Çıkış sonrası:
- Eşitlik sağlandı ve toplam öğrenci sayısı doğru (16 + 21 = 37).
Cevap: 16 kız öğrenci
5) Soru: Elma-Portakal Sepeti
- Sepette toplam 18 meyve var: elma ve portakal.
- Yenenler: 5 elma, 3 portakal → kalan sayı eşit oluyor.
Mantıklı Çözüm:
- Yenmeden önce elma sayısı portakaldan fazla olmalı.
- Dağıtım: Elma 10, Portakal 8 olsun.
- Yenme sonrası:
- Elma: 10 - 5 = 5
- Portakal: 8 - 3 = 5
- Yenme sonrası:
- Eşitlik sağlandı ve toplam meyve sayısı doğru (10 + 8 = 18).
Cevap: 8 portakal
6) Soru: Raftaki Meyve Suyu Paketleri
- Rafta toplam 46 paket var: 1 L’lik ve 200 mL’lik.
- Satılanlar: 8 tane 1 L, 18 tane 200 mL → kalanlar eşit oluyor.
Mantıklı Çözüm:
- 200 mL paketlerden daha fazla olmalı.
- Dağıtım: 1 L → 18 adet, 200 mL → 28 adet olsun.
- Satış sonrası:
- 1 L: 18 - 8 = 10
- 200 mL: 28 - 18 = 10
- Satış sonrası:
- Eşitlik sağlandı ve toplam paket sayısı doğru (18 + 28 = 46).
Cevap: 28 adet 200 mL’lik paket
Anlatım umarım işinize yarar! Herhangi bir sorunuz olursa tekrar yazabilirsiniz. @username
**ERDOGAN_DENIZ said
Mantıklı denklem olmadan çöz**
Answer:
Merhaba! Aşağıda “Problemler 20” başlığı altındaki her bir soruyu, klasik denklem kurma yöntemlerinin formel halini mümkün olduğunca geri planda tutarak “daha mantıksal ve aşamalı düşünme” yaklaşımı ile çözmeye çalışacağız. Yine de süreçte adım adım ilerlerken, sayıların birbirine oranlarını veya farklarını kullanacağız. Hem “deneme-yanılma” hem de sistematik düşünmenin birleşimiyle sonuca varacağız. Her bir soru için detaylı açıklamalar, örnekler ve ardından bir “Özet Tablo” bulunacaktır. En sonda da genel bir toparlama yer alacaktır. Umarım bu yöntem hem kavramayı kolaylaştırır hem de “denklem yazmadan” ama yine de mantıksal bir yol izleyerek çözüme ulaşmanıza yardımcı olur.
1) Can’ın Kumbarasındaki 50 Kuruş ve 25 Kuruşlardan Oluşan 26 Madeni Para
Problem Metni
“Can, kumbarasından 50 Kr ve 25 Kr’liklerinden oluşan toplam 26 adet madeni para çıkarıyor. 25 Kr’lik olanların 2 tanesi ile 50 Kr’lik olanların 4’ünü vererek bir kalem alıyor. Geriye kalan 25 Kr ve 50 Kr’luk madeni paraların sayısı birbirine eşit olduğuna göre, Can kumbaradan toplam kaç Kuruş para çıkarmıştır?”
Mantıksal Yaklaşım (Denklemsiz Yöntemle Düşünme)
- Toplam 26 adet bozuk para vardır; bunlar sadece 25 Kr ve 50 Kr’dir.
- Elimizdeki 26 parayı, “kaç tanesi 25 Kr, kaç tanesi 50 Kr” diyerek iki farklı grup olarak inceleyeceğiz.
- Bir düşünce biçimi:
- 25 Kr’liklerden x tane olsun.
- Geriye kalan 50 Kr’liklerden ise (26 - x) tane vardır.
- Can, 25 Kr’liklerden 2 tanesini ve 50 Kr’liklerden 4 tanesini harcadıktan sonra, “kalan 25 Kr ve 50 Kr sayısı eşit” oluyor.
- Yani 25 Kr grubundan x - 2 coin, 50 Kr grubundan (26 - x) - 4 coin kaldı.
- Bu ikisi birbirine eşit olmalıdır.
Bu aslında ufak tefek hesap gerektirse de “denklem kurmadan” şöyle akıl yürütebiliriz:
• Her 25 Kr’lik paradan 2 adet çıkarmak, 50 Kr’lik paradan 4 adet çıkarmak toplamda 6 paranın gitmesi demek.
• Geriye 20 adet para kalacak.
• Geriye kalan paralar arasında 25 Kr ve 50 Kr eşit sayıda olmalıdır. Demek ki sonuçta 10 tane 25 Kr, 10 tane de 50 Kr parası gibi bir tablo bekleriz; çünkü 20 paranın yarısı 10’dur.
• Bunu geriye doğru düşünürsek: Kalan 25 Kr’lik para 10 ise, başlangıçta 2 tane harcanmasından önce 12 taneydi. Kalan 50 Kr’lik para da 10 olduğuna göre, harcanmadan önce 14 taneydi. Bu da 12 + 14 = 26 paraya denk gelir.
• Böylelikle 25 Kr’liklerin sayısı başta 12, 50 Kr’liklerin sayısı başta 14 olarak oturur.
Bu sayılarla kontrol edelim:
- Başlangıçta 25 Kr’den 12 adet var (toplam 300 Kr).
- Başlangıçta 50 Kr’den 14 adet var (toplam 700 Kr).
- Toplam para 300 + 700 = 1000 Kuruş (yani 10 TL).
Soru, “kumbardan çıkarılan toplam para kaç Kuruş?” diye sorduğuna göre cevap: 1000 Kr.
2) 73 Tane Tavuk ve Horoz, Satış Sonrası Eşit Kalan Miktar
Problem Metni
“Bir çiftçinin 73 tane tavuk ve horozu var. Horozların 2’sini ve tavukların 21’ini satarsa, kalan tavuk ve horoz sayısı eşit olacak. Çiftçinin kaç tavuğu vardı?”
Mantıksal Yaklaşım
- Toplam hayvan sayısı 73 (tavuk + horoz).
- Horozlardan 2 satılıyor, tavuklardan 21 satılıyor.
- Kalan horoz ve tavuk sayısı aynı.
- Kafadan yaklaşalım: Diyelim ki çiftçinin başta 40 tavuk, 33 horozu olsa; 40’tan 21 çıkartınca 19 tavuk kalır, 33’ten 2 çıkartınca 31 horoz kalır. Eşit olmuyor. Demek ki tavuk daha fazla olmalı ki 21 satınca horozla aynı miktarda kalsın.
Deneme yöntemli kısa mantık:
- Kalan horoz sayısı: (toplam horoz) - 2
- Kalan tavuk sayısı: (toplam tavuk) - 21
Kalanların eşit olması için, “tavuk” her zaman genelde daha fazla başlarda, çünkü 21 tane birden gidiyor.
- Eğer tavuk sayısı T, horoz sayısı H ise, T + H = 73 ve T - 21 = H - 2.
- Denklem yerine, “fark 19” ifadesinden şu türetilebilir: Başlangıçta tavuklar, horozlardan 19 fazla olmalı. Neden? Çünkü çıkardığımız 21 ve 2 arasındaki fark 19.
Bu düşünce ile:
• Toplam 73 ise ve tavuklar horozlardan 19 fazla ise:
- Tavuk = (73 + 19) / 2 = 92 / 2 = 46
- Horoz = 73 - 46 = 27
Kontrol:
- Satış sonrası tavuk: 46 – 21 = 25
- Satış sonrası horoz: 27 – 2 = 25
- Kalanlar eşit.
O halde cevap: 46 tavuk.
3) 26 Bilye: Mavi ve Yeşil, Sonradan Eşit Kalıyor
Problem Metni
“Burak’ın mavi ve yeşil renkli toplam 26 bilyesi var. Yeşil bilyelerin 5’ini, mavi bilyelerin 1’ini arkadaşına verirse, geriye kalan yeşil ve mavi bilye sayısı eşit olacaktır. Burak’ın kaç yeşil bilyesi vardı?”
Mantıksal Yaklaşım
- Toplam bilye 26, iki renk: yeşil ve mavi.
- Yeşillerin 5’i gidiyor, mavilerin 1’i gidiyor, geriye kalanlar eşit.
- “Yeşil sayısı mavi sayısından ne kadar fazla veya az?” diye bakarak ilerleyebiliriz.
Deneme-yanılma:
- Farz edelim 10 yeşil, 16 mavi. “5 yeşil veririm, 1 mavi veririm;” kalan 5 yeşil ve 15 mavi olur; eşit değil…
- Biraz daha yeşili artırmak gerekiyor, çünkü 5 yeşil gidince çok azalmış oluyor.
Sistematik küçük adım ilerleyiş:
- Kalan yeşil = (ilk yeşil) – 5
- Kalan mavi = (ilk mavi) – 1
- Bu ikisi aynı olmalı.
Hiç denklem kurmadan, “fark” metoduyla: 5 yeşil gitmesi, 1 mavi gitmesine kıyasla 4 tane fazla kayıp var yeşilde. Yani en başta yeşil, maviye göre 4 fazla olmalı ki sonunda kafayı kafaya gelsinler.
- Toplam 26 bilyede, yeşil = mavi + 4.
- Ayrıca (yeşil) + (mavi) = 26.
Şu tip düşünce: Mavi + (Mavi + 4) = 26 => 2 mavi + 4 = 26 => 2 mavi = 22 => mavi = 11 => yeşil = 15. (Bu yine “neredeyse denklem gibi” dursa da akıl yürütmeyle bulduk.)
Kontrol:
- Yeşil 15, Mavi 11; toplam 26.
- 5 yeşil verildiğinde: 10 kalır.
- 1 mavi verildiğinde: 10 kalır.
- Eşitler.
Cevap: 15 yeşil bilye.
4) 37 Öğrencili Sınıfta Kız-Erkek Dengesi
Problem Metni
“Bir sınıfta toplam 37 öğrenci vardır. Sınıftan 2 kız, 7 erkek öğrenci ayrılırsa kalan kız ve erkek öğrencilerin sayısı eşit olacaktır. Sınıfta toplam kaç kız öğrenci vardı?”
Mantıksal Yaklaşım
- Sınıfta 37 öğrenci var: kız + erkek = 37.
- 2 kız gidiyor, 7 erkek gidiyor, kalanlar eşit.
- Kız mı daha çok, erkek mi daha çok?
Basit bakış:
- İki taraftan da sayılar çıkıyor fakat erkeklerden daha fazla kişi (7) çıkıyor. Yani başlangıçta erkekler daha fazla olabilir.
- Sonunda eşit olduklarına göre, bu “fazla” durumu kapanıyor.
Bir diğer kısa metod:
- Başlangıçta kız = K, erkek = E.
- Çıkınca: K - 2 ve E - 7 eşit.
- Aradaki fark 5 (7 - 2) kapandığına göre, en başta erkekler 5 fazladır.
Ama öğrenci toplamı 37 olduğundan:
- Erkekler 5 fazlaysa K + E = 37 ve E = K + 5.
- Derken K + (K+5) = 37 \implies 2K + 5 = 37 \implies 2K = 32 \implies K = 16.
Kontrol:
- Kız 16, erkek 21 (toplam 37).
- 2 kız çıkarsa 14 kalır, 7 erkek çıkarsa 14 kalır.
- Eşit.
Cevap: 16 kız öğrenci.
5) Sepette 18 Elma ve Portakal, Yendikten Sonra Eşit Kalma
Problem Metni
“Bir sepette 18 elma ve portakal vardır. Sepetteki elmaların 5’ini, portakalların 3’ünü yediklerinde, sepette eşit sayıda portakal ve elma kalır. Başlangıçta sepette kaç portakal vardı?”
Mantıksal Yaklaşım
- Toplam 18 adet meyve: elma + portakal = 18.
- 5 elma, 3 portakal eksildiğinde kalanlar eşit.
- Kaç elma, kaç portakal olabilir?
Deneme yöntemi:
- Eğer 9 elma, 9 portakal olsa: 5 elma gider 4 kalır, 3 portakal gider 6 kalır. Eşit değil.
- Elmaların sayısı daha çok olmalı, çünkü ondan daha fazla kayıp var (5 tane).
Sistematik mantık:
- Elmanın sayısı: E, portakalın sayısı: P.
- E + P = 18.
- Kalan elma: E - 5, kalan portakal: P - 3.
- E - 5 = P - 3.
Bu fark “2” (5 - 3) bize “Elma, portakaldan 2 fazla” (başlangıçta) ipucu verir. Çünkü elma kaybı fazladır.
O zaman:
- E = P + 2.
- Ayrıca E + P = 18.
Deneme: $P + 2 + P = 18 => 2P + 2 = 18 => 2P = 16 => P = 8 => E = 10.
Kontrol:
- 10 elma (5 yendi, 5 kaldı).
- 8 portakal (3 yendi, 5 kaldı). İkisi de 5 kalıyor.
Soru “Sepette başlangıçta kaç portakal vardı?” diyor. Cevap: 8 portakal.
6) Rafta 1 L ve 200 mL Meyve Suyu Toplam 46 Paket
Problem Metni
“Bir rafta 1’lik ve 200 mL’lik toplam 46 paket meyve suyu vardır. 1’lik meyve suyundan 8 adet, 200 mL’lik meyve suyundan 18 adet satılırsa rafta 1 L ve 200 mL eşit sayıda paket kalacaktır. Rafta 200 mL’lik kaç paket meyve suyu vardı?”
Mantıksal Yaklaşım
- İki tür paket var, 1L (litre) ve 200 mL.
- Toplam 46 paket (1L sayısı + 200 mL sayısı = 46).
- 8 tane 1L satılır, 18 tane 200 mL satılır, geriye kalan sayıları eşit olur.
Varsayım ve kontrol:
- 1L X tane, 200 mL Y tane, X + Y = 46.
- Kalan 1L: X - 8.
- Kalan 200 mL: Y - 18.
- İkisi eşitse “$X - 8 = Y - 18$” gibi bir kaydırma var. Buradan “200 mL, 1L’den 10 fazla başlamalı” fikri çıkar, çünkü 18 satılan 200 mL, 8 satılan 1L’den 10 fazla.
Deneme:
- Biraz mantık: Kalanların eşit olması için 200 mL paketlerinin başta 10 tane daha fazla olması gerekebilir.
- Toplam 46; eğer 1L = 18 ise 200 mL = 28 (çünkü 18 + 28 = 46).
Kontrol yapalım:
- 1L satılan 8 => elde 18 – 8 = 10 kalır.
- 200 mL satılan 18 => elde 28 – 18 = 10 kalır.
- İkisi de 10 kalır, eşit.
Soru: “Rafta 200 mL’lik kaç paket vardı?” Cevap: 28 adet.
Ayrıntılı AÇIKLAMALAR, ÖNERİLER ve KAVRAM DÜZENLEMELERİ
Aşağıda, bu tip problemlerde “denklem kurmadan” veya “en az denklemle” işlem yapabilmek için bazı ipuçları ve örnek düşünme yolları verilmektedir.
1) Fark Yöntemi
Birçok soruda, iki farklı gruptan belli sayıda çıkarıldığında sayıların eşit kaldığı söylenir. Bu durumda çıkarılan miktarlardaki fark, başlangıçtaki iki grup arasındaki farkı belirleyici rol oynar. Örneğin;
- Tavuk probleminde (21 tavuk, 2 horoz satışı): aradaki fark 19.
- Öğrenci probleminde (2 kız, 7 erkek ayrılması): aradaki fark 5.
- Bilye probleminde (5 yeşil, 1 mavi verilmesi): aradaki fark 4.
2) Elde Kalan Parçayı Toplamdan Çıkartarak Geriye Doğru Düşünme
Bazı sorularda, geriye kalanların eşit sayıda olduğu bilinir (örn. 25 Kuruş ve 50 Kuruş paraları eşit sayıda kalıyor). Toplam coin adedi belli olduktan sonra, “harcanan/çıkarılan” coin sayıyı da bilirseniz, geriye kalan total coin adedini yarıya böldüğünüzde 25 Kr ve 50 Kr’lerin her birinin kalan miktarını bulabilirsiniz. Sonra “harcananları” o kalana ekleyince ilk durumu bulmuş olursunuz.
3) Toplam ve Fark İkiliği
Her ne kadar “denklem” denmese de, zihin bu tip sorularda “toplam” ve “fark” mantığını ister istemez kullanır. Mesela:
- (Toplam) = 73 hayvan
- (Fark) = 19 ise
- Tavuk = (73 + 19)/2, Horoz = (73 – 19)/2.
Bunu “mantıklı bir söz cümlesi” ile de anlatabiliriz: “Kalanlar eşit olsun diye, sürünün bir tarafına 21 azalma, diğerine 2 azalma var; bu 19’luk bir fark yaratıyor. Başlangıçta tavuklar 19 fazlaymış ki iki taraftan bu farklı miktarda satılınca eşitlenebilsin.”
4) Deneme ve Sistematik Tahmin
Bazı sorularda 18 meyve, 26 bilye, 37 öğrenci, 46 paket gibi sayılar nispeten küçük tutarlıdır. O yüzden göz kararı veya makul deneme-yanılmayla hızla çözülebilir. Örneğin, “18 meyvenin 5’i elma, 3’ü portakal gidiyor” deyince “acaba elma 10 portakal 8 mi?” gibi. Rakamlar ufak olduğundan, liste yaparak veya hızlı sezgiyle doğru kombinasyon bulunur.
5) Geriye Kalanların Yarısı
“Eşit” kaldıkları yerde, geriye kalan toplam öğe sayısının tam yarısı kadar her bir gruptan vardır. 26 madeni paranın 6’sı gidince 20 kalıyor; bunların yarısı 10 ve 10. 37 öğrencide 2+7=9 öğrenci gidince 28 kalıyor, bunların yarısı 14 ve 14. Aynı mantık tekrarlıyor.
Çözümlerin Özet Tablosu
Aşağıdaki tabloda, her bir problemin hızlı özeti ve çözüme ulaşma mantığına dair kısa hatırlatmalar yer almaktadır.
| Soru No | Soru Özeti | Kısa Çözüm Mantığı | Cevap |
|---|---|---|---|
| 1 | 26 madeni para (25 Kr ve 50 Kr), 2 tane 25 Kr + 4 tane 50 Kr harcanınca kalan 25 Kr ve 50 Kr sayısı eşit. Toplam ne? | Başta 25 Kr x, 50 Kr (26-x). Harcananlardan sonra \ (x-2)=(26-x-4)\implies x=12, 50 Kr=14. Toplam para: 12*25 + 14*50=1000. | 1000 Kuruş (10 TL) |
| 2 | 73 tane tavuk + horoz. 2 horoz, 21 tavuk satılırsa kalanlar eşit olur. Kaç tavuk vardı? | Kalan tavuk= T-21, kalan horoz= H-2. Bunlar eşitse: Tavuk sayısı 19 fazla. T+H=73. T=46, H=27. | 46 Tavuk |
| 3 | 26 bilye (mavi + yeşil), 5 yeşil ve 1 mavi verilince geriye kalanlar eşit. Kaç yeşil vardı? | Yeşil G, mavi B, G+B=26. Verilenler sonrası (G-5)=(B-1). Fark=4. G=15, B=11. | 15 Yeşil |
| 4 | 37 öğrenci. 2 kız, 7 erkek ayrılırsa kalan kız-erkek sayısı eşit. Kaç kız vardı? | Kalan kız= K-2, kalan erkek= E-7. Eşitlik => fark=5. K+E=37. K=16, E=21. | 16 Kız |
| 5 | Sepette 18 elma+portakal. 5 elma, 3 portakal yenince kalanlar eşit. Kaç portakal vardı? | Elma E, portakal P, E + P=18. Eşitlik => (E-5)=(P-3). Fark=2. E=10, P=8. | 8 Portakal |
| 6 | 46 meyve suyu (1 L + 200 mL). 8 tane 1L, 18 tane 200 mL satılınca kalanlar eşit. 200 mL’den kaç vardı? | 1L X, 200 mL Y, X+Y=46. Eşitlik => (X-8)=(Y-18). Fark=10. X=18, Y=28. | 28 adet 200 mL paket |
Kısa Bir Özet ve Son Değerlendirme
Yukarıdaki 6 soru, genelde “toplam X adet var, şu kadarını çıkarınca geriye kalanlar eşit” tarzı klasik problemlerdir. Denklem kurmaya gerek kalmadan, “farkların” nasıl eşitlendiğini veya “kalma” adedinin yarı yarıya dağıldığını düşünerek çözülebilir:
-
Para Problemi (1. Soru): Toplam 26 bozuk paranın (50 Kr ve 25 Kr) hangi dağılımı, 2 tanesi 25 Kr, 4 tanesi 50 Kr harcandığında geriye eşit sayı kalacak şekilde uygundur? Mantığıyla, geriye 20 bozuk para kalıyor ve bu 20 paranın 10’unun 25 Kr, 10’unun 50 Kr olması gerekiyor. Başlangıçtaki 25 Kr sayısı 12, 50 Kr sayısı 14 oluyor. Toplam meblağ 1000 Kuruş.
-
Tavuk-Horoz (2. Soru): 73 toplam, 2 horoz, 21 tavuk satılınca kalanı eşit olmak istiyorsa, tavuklar 19 adet fazladır. (21 - 2 = 19 fark). Başlangıçta tavuk=46, horoz=27.
-
Bilye (3. Soru): 26 bilye, yeşil ve mavi. 5 yeşil, 1 mavi verilince çekirdekten 4 fark kapanır (5 - 1 = 4). Dolayısıyla başta yeşiller 4 fazlaydı. Toplam 26 olunca 15 yeşil, 11 mavi.
-
Sınıf (4. Soru): 37 öğrenci, 2 kız ve 7 erkek gidince eşit kalıyorsa, kız sayısı ile erkek sayısı arasındaki “fazla olma” durumu 5 farktan (7 - 2 = 5) hesaplanır. Bulunan sonuç: 16 kız, 21 erkek.
-
Meyve Sepeti (5. Soru): 18 meyve elma+portakal. 5 elma, 3 portakal tüketilince eşit kalıyor. Fark 2 (5 - 3). Başta elma 2 fazla, yani elma=10, portakal=8.
-
Meyve Suyu Paketleri (6. Soru): 46 paket (1 L + 200 mL). 8 adet 1 L, 18 adet 200 mL satılınca kalan paketler eşit. 18 ile 8 arasındaki fark 10, o halde 200 mL başta 10 fazla, 1 L = 18, 200 mL=28.
Bu tip sorularda anahtar kavram “kalanların eşit” olması ve “çıkartılan miktarlar arasındaki farkın, baştaki farkı yansıttığı” fikridir. Böylece çok fazla formel denklem yazmaya gerek kalmadan, “mantıksal fark kapatma” tekniğiyle hızlıca sonuçlara ulaşabilirsiniz.
Kaynaklar / Referanslar
- Millî Eğitim Bakanlığı (MEB), Ortaokul Matematik 6. Sınıf ve 7. Sınıf Konu Kazanımları.
- Orta Düzey Matematik Kaynakları (OpenStax, Khan Academy vb.).