Tarik’in Programını Kullanarak Siyah Karelerin Değerlerini Bulma
Soru Metni:
Tarik, bilgisayardaki bir matematik programına bir doğal sayı girdiğinde, o sayının faktöriyelinin asal çarpanlara ayrılmış şeklini görebilmektedir. Örneğin 12 sayısının faktöriyelini (12!) girdiğinde:
$$12! = 2^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11$$
olarak görünmektedir. Tarik, n sayısını girdiğinde görünen sayının bir çıktısını almış, fakat yazıcıdaki bir hatadan dolayı aşağıdaki gibi bazı sayıların yerinde siyah kareler yazılmıştır:
$$n! = 2^{25} \cdot 3^5 \cdot 5 \cdot 7^4 \cdot 11^2 \cdot 13^2 \cdot 17 \cdot 19 \cdot \blacksquare^n \cdot \blacksquare^p$$
Buna göre, siyah karelerin yerine gelmesi gereken sayıların toplamı kaçtır?
Çözüm:
Öncelikle, \blacksquare sembollerinin yerine gelecek olan sayıların belirlenmesi gerekiyor. Dikkat edilmesi gereken, eksik olan asal sayıların faktöriyelin ekspansiyonuna uygun mantığı izleyerek bulunmasıdır.
Verilen:
$$n! = 2^{25} \times 3^5 \times 5 \times 7^4 \times 11^2 \times 13^2 \times 17 \times 19 \times \blacksquare \times \blacksquare$$
Adım adım çözüm:
-
Faktörlerin Yerleşimi:
-
- ve 20. asal sayılar eksik ve bunlar sırasıyla 23 ve 29 sayılarıdır.
-
-
Hatalı veya Kaybolan Asal Çarpanları Belirleme:
- Asal çarpanları belirlerken, n sayısının n!'de asal sayılarla temsil edilmesi gerektiğini fark edin.
- Normalde faktöriyellerle yüksek asal çarpanlar elde ettiğimizde sayılar eksikse bu sayılar güvenli bir şekilde yerine konulabilir.
-
Eksik Asalları Yerleştirme ve Ekspansiyon:
$$n! = 2^{25} \times 3^5 \times 5 \times 7^4 \times 11^2 \times 13^2 \times 17 \times 19 \times 23 \times 29$$ -
Eksik Değerlerin Toplamı:
- Eksik olan asal çarpanlar \blacksquare_1 = 23 ve \blacksquare_2 = 29.
- Toplam: 23 + 29 = 52
Sonuç:
Siyah karelerin yerine gelmesi gereken sayıların toplamı 52’dir.
Özet Tablo:
| Faktor | Üsler |
|---|---|
| 2 | 25 |
| 3 | 5 |
| 5 | 1 |
| 7 | 4 |
| 11 | 2 |
| 13 | 2 |
| 17 | 1 |
| 19 | 1 |
| 23 | \blacksquare_1 |
| 29 | \blacksquare_2 |
Not: Bu problemi doğru çözmek için dikkatli analitik bir düşünce gereklidir ve problemdeki eksiklikler kontrol edilmelidir. Ayrıca, faktöriyel faktörleri kontrol edilerek çalışılmalıdır.