1.1! + 2.2! + 3.3! +…+ 40.40! sayının sondan kac
basamagi 9 dur
Problem: Matematik Faktoriyel ve Basamak Analizi
Sara3’ün sorduğu soruda, 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \ldots + 40 \cdot 40! ifadesinin sondan kaç basamağının 9 olduğu sorulmaktadır. Bu tür problemler genellikle sayıların faktöriyel değerleri ve bu değerlerin aritmetik kombinasyonları ile ilgilidir.
Faktoriyelin Tanımı
Öncelikle, faktoriyel (n!) bir sayının kendisinden küçük ve pozitif tüm tamsayıların çarpımıdır. Yani:
- 1! = 1
- 2! = 2 \cdot 1 = 2
- 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6
- n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 1
Son Basamakların 9 Olması
Bu problemde verilen ifadenin tüm terimlerini incelememiz ve sondan gelen hangi basamakların 9 olduğunu bulmamız gerekiyor. Bunun için her terimin son basamaklarını bulmalıyız, çünkü bu basamaklar toplamı etkiler.
Faktöriyellerin büyümesi ile son basamaklar genellikle 0 olur, özellikle 5! ve daha büyük faktöriyel sayılarında, çünkü 10 = 2 \cdot 5 çarpan olarak bulunur. Dolayısıyla, bu terimlerin toplamı sıfıra eşit olur ve toplamda etkisi olmaz.
Adım Adım Çözüm
1. İfadeyi Gözden Geçirmek
İlk olarak, 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \ldots + 40 \cdot 40! ifadesini analiz edeceğiz.
- $$1 \cdot 1! = 1$$
- $$2 \cdot 2! = 4$$
- $$3 \cdot 3! = 18$$ ve bu böyle devam eder.
2. Basamakları İncelemek
Bu toplamdaki belli başlı basamakları incelemek için:
- $$4! = 24 \quad (4 \text{ ile birlikte})$$ ve ilerleyen faktöriyellerin son basamakları sürekli 0 olur çünkü gerekli çarpanlar vardır (5! = 120).
İşlemler ve Sonuç
Basit bir tablo oluşturarak en küçük faktöriyel terimlerini ve çarpanları kontrol edelim:
| n | ( n \cdot n! ) | Son Basamak |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 4 |
| 3 | 18 | 8 |
| 4 | 96 | 6 |
| 5 | 600 | 0 |
| 6 | 4320 | 0 |
| … | … | … |
İleri Tahmin
n \geq 5 için faktöriyel çarpımları son basamakları sürekli 0’dır. Dolayısıyla toplamın sondan gelen ilk birkaç terimi baz alındığında sadece 1, 2, ve 3 terimleri etkili olur.
Demek ki 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3!'in son basamağı toplamını belirler, bunda da göre, sonucun son basamağı 9 değil, 3 olacaktır.
Sonuç:
Bu özel problemde sondan 9 olan basamak bulunmamaktadır. Yanlış anlaşılmayı düzeltmek için problemde belirtilen durumu tekrar incelemek faydalı olacaktır, çünkü verilen dizilimde anlam bilimsel bir hata olabilir. @sara3