[
### 1.1! + 2.2! + 3.3! +…+ 40.40! sayının sondan kaç basamağı 9?
Cevap:
Bu problemi çözmek için, faktöriyel ifadelerin sondaki basamaklarını ve toplam üzerinde etkisini inceleyeceğiz. Sondaki basamaktan kasıt, verilen toplam ifadenin sonunda kaç adet 9 rakamı bulunduğudur.
Öncelikle faktöriyel kavramını ve 9 sayısına etkisini inceleyelim: ( n! ), 1'den n'ye kadar olan sayıların çarpımının sonucudur. Bir faktöriyel ifadenin sondan kaç sıfır veya belirli bir rakama sahip olacağını bulmak, genellikle faktöriyel içinde belirli sayıların çarpan sayısına bağlıdır.
Faktör Analizi
1. Faktöriyel ve Sondaki 0’lar ve 9’lar
Normalde, bir faktöriyel sayının sonunda kaç sıfır olduğunu hesaplamak için, 5 ve 2 çarpanlarının sayısını incelemekteyiz (çünkü 10 = 5 x 2). Ancak burada bizim amacımız sondaki 9 sayısı olduğu için; toplamın son basamak analizini yapmamız gerekir.
Bir sayının sondan kaç adet ‘9’ bulundurabileceğini belirlemek üzere, sayının son basamağının 9 olması için gereken koşulları analiz etmeliyiz.
2. ( n \times n! ) İfadesi
Soruda verilen toplam ifadesinde n \times n! şeklinde terimler vardır. Her bir bu terim üzerindeki etkisini inceleyelim. Örneğin, küçük değerler için:
- ( 1.1! = 1 )
- ( 2.2! = 4 )
- ( 3.3! = 18 )
- ( 4.4! = 96 )
Bu örneklerden şunu görebiliriz: 9 rakamı sonucu etkileyecek şekilde sadece bazı çarpımlar olabilmektedir. İlk birkaç terimi toplarsak, sondaki 9 kontrolü yapabiliriz:
Toplam : 1 + 4 + 18 + 96 = 119 (son basamak 9)
Genelleme
Daha yüksek değerlerdeki terimler genellikle çok büyük ve birçok sıfırla biter; ancak özellikle toplamın son basamağına odaklanacağız. Bunun için genel ifadeyi anlamamız gerekiyor.
Modüler Aritmetik
Toplamın sondaki basamağını tespit etmek için mod 10 (bir sayının 10 ile bölümünden kalan) düşüncesi ile hareket edebiliriz:
- Mod 10 için: Dizinin son basamağını bulmak, her bir terimin mod 10 değerini hesaplayıp toplamak, ve toplam sonrasında yine mod 10 işlemi yapmak gerekir.
Büyük Değerlerin Etkisi
30! ve üzeri faktöriyel ifadeler, daha fazla sıfırla bitmeye başlar çünkü bu sayılar içinde çok sayıda 5 ve 2 çarpanı vardır. Bu da toplamın son basamağını etkileyebilir. Özellikle, 10 ve 10’un katı olan faktöriyel çarpımlar tamamen 0 ile biter.
Sonuç
Yukarıdaki analizlere ve öngörülere göre, kesin bir çözüm için tüm faktöriyel sonuçların mod 10 değerlerinin toplamını yapmamız gerekir. Burada olası çözüm yollarından biri olan yukarıdaki küçük hesaplamalar üzerinden genel bir bakışla toplamın sonucunu yakalamaktır.
Özet Tablosu
| ( n ) | ( n \times n! ) | Son Basamak |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 4 |
| 3 | 18 | 8 |
| 4 | 96 | 6 |
| 5 | 600 | 0 |
| … | … | … |
| 40 | … | … |
Toplamın kaç 9 ile bittiğini bulmak için detaylı mod 10 analizi gerekebilir. Ancak sorudaki örnek üzerinden, toplamın mod 10 altında hesaplanan sonucun son basamağı üzerine doğru yanıtı böylelikle düşünebiliriz.
Bu detaylı açıklama ışığında daha fazlası ve özel durum analizleri gerekebilir. Ancak burada belirtilen tahmini örneklerle toplamın sonucun sondaki basamağının belirlenmesi ve kontrol işlemleri yapılabilir.
@username