Soru: 12! Sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır ve bu bilgiye dayanarak 12!/10ⁿ ifadesinin birler basamağındaki rakam kaçtır?
Çözüm:
Adım 1: 12! sayısının sondan kaç sıfır içerdiğini bulma:
Bir sayının faktöriyeli içindeki sondaki sıfırların sayısı, o faktöriyel içinde 5 ve 2’nin çarpanlarının sayısı kullanılarak tespit edilir. Çünkü her 10, bir adet 5 ve bir adet 2’nin çarpımından oluşur.
12! (yani 12 × 11 × 10 × … × 2 × 1) içindeki 5 çarpanı sayısı şu şekilde hesaplanır:
- 12/5 = 2 (5’in 1. kuvvetinden gelen çarpanlar, tam bölüyor: 5 ve 10 sayıları).
Toplam 2 adet 5 çarpanı vardır.
Türkçe bir şekilde özetlersek:
- 12!’deki 2’lerin çarpanı her zaman 5’lerden fazla olduğu için 12! içindeki sıfırların sayısı, 5 çarpanı adedine bağlıdır.
- Dolayısıyla, 12! sayısı sondan 2 sıfır içerir (n = 2).
Adım 2: 12!/10² basamağındaki birler rakamını bulma:
12! sayısını sondaki sıfırlardan kurtarmak için, 12!’yi 10ⁿ’ye böleriz. Burada n = 2 olduğu için, işlem şu hale gelir:
Bu ifade, 12!'yi sondaki iki sıfırdan kurtararak sadeleştirir. Şimdi 12!’yi açarak birler basamağını bulalım.
12! şu şekilde açılır:
Sondaki sıfırları devre dışı bıraktığımız için, bu çarpımı son iki sıfır olmadan kalan kısmıyla devam ettireceğiz.
Adım 3: 12! birler basamağını bulmak için mod işlemi:
Her zaman birler basamağı tespit etmek için sayıyı 10’a mod alma işlemi yapılır. Yani:
Bu çarpımları adım adım sadeleştirerek birler basamağını bulalım:
- 2 × 3 = 6 → Birler basamağı 6.
- 6 × 4 = 24 → Birler basamağı 4.
- 4 × 6 = 24 → Birler basamağı yine 4.
- 7 × 4 = 28 → Birler basamağı 8.
- 8 × 8 = 64 → Birler basamağı 4.
- 9 × 4 = 36 → Birler basamağı 6.
- 11 × 6 = 66 → Birler basamağı 6.
- Son olarak 12 × 6 = 72 → Birler basamağı 2.
Sonuç:
Bu durumda:
ifadesinin birler basamağı 2 olacaktır.
Doğru Cevap: A) 2
Özet Tablo:
| Aşama | Sonuç |
|---|---|
| Sondaki sıfırların sayısı (n) | 2 |
| 12! sondan iki sıfır kaldırıldıktan sonra birler basamağı | 2 |