n pozitif bir tam sayı olmak üzere n! - 1 veya n! + 1 biçiminde yazılabilen asallara “Faktöriyel Asal” adı verilir. Örneğin; 3 ve 5 birer Faktöriyel Asaldır. Çünkü 3 = 2! + 1 , 5 = 3! - 1. Buna göre, iki basamaklı kaç tane Faktöriyel asalı vardır?
Cevap: Faktöriyel asal tanımını kullanarak iki basamaklı faktöriyel asallarını bulmak için gerekli hesaplamaları yapalım:
1. Faktöriyel Asallarının İncelenmesi:
- n! - 1 ve n! + 1 biçiminde asal sayı olup olmadığını kontrol edelim.
2. İki Basamaklı Faktöriyel Asalların Belirlenmesi:
- İki basamaklı faktöriyel asalları belirlemek için n! - 1 ve n! + 1 hesaplamalarının iki basamaklı olduğu durumları kontrol edelim.
Başka iki basamaklı faktöriyel asal bulunmamaktadır.
Sonuç:
İki basamaklı yalnızca 23 sayısı vardır.
Sonuç olarak, iki basamaklı kaç tane faktöriyel asal vardır?
Cevap: 1 (A şıkkı).
Bir matematik öğretmeni öğrencilerine şu şekilde bir tanım vermiştir: “5 ten büyük asal böleni olmayan pozitif tam sayılara 5-düzgün sayı denir.” Buna göre, iki basamaklı en büyük 5-düzgün sayının pozitif bölen sayısı kaçtır?
Cevap:
Öncelikle 5-düzgün sayı tanımına göre, 5’ten büyük asal bölenleri olmayan sayılar bulunmalıdır. Yani bu sayılar sadece 2, 3 veya 5’in pozitif kuvvetlerinden oluşmalıdır. İki basamaklı en büyük böyle sayıyı bulmamız gerekiyor.
Adım 1: İki Basamaklı En Büyük 5-Düzgün Sayıyı Belirlemek
- 5-düzgün sayılar, sadece 2, 3 ve 5’in çarpımından oluşabilir.
- En büyük iki basamaklı 5-düzgün sayıyı bulmak için bu çarpanların en yüksek kombinasyonunu kullanmalıyız.
Örneğin:
- En büyük kuvvet kombinasyonu: 5^2 = 25, 3^2 = 9, ve 2^3 = 8.
- Çarpımları: 25 \times 4 = 100 (Ancak bu 3 basamaklıdır.)
- Bunun yerine daha uygun kombinasyonlara bakalım:
- 2^4 = 16 ve 5 = 5 → 16 \times 5 = 80 (Bu iki basamaklıdır)
Başka kombinasyonlara bakalım:
- 3^3 = 27 fazla büyük olacak çünkü iki basamaklı kombinasyon istiyoruz.
- 3^1 \times 5^1 = 15, 2^3 = 8 → 8 \times 15 = 120 (Bu da çok büyük)
- Şimdi tekrar kontrol edelim; Daha büyük bir kombinasyonu var mı diye:
- 2^3 \times 5 = 40, 3^1 = 3 ; 40 \times 3 = 120
60 daha iyi bir kombinasyondur
Adım 2: Pozitif Bölen Sayısını Bulmak
Pozitif bölen sayısını bulmak için sayının asal çarpanlarının kuvvetlerini inceleyelim.
$$ 60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$$
Pozitif bölen sayısı formülü:
$$ (a+1) \times (b+1) \times (c+1)$$
Burada, a, b, ve c asal çarpanların sayılarıdır.
Hesaplama:
$$ (2+1) \times (1+1) \times (1+1) $$
$$ = 3 \times 2 \times 2 $$
$$ = 12 $$
Bu yüzden, iki basamaklı en büyük 5-düzgün sayının pozitif bölen sayısı 12’dir.
Cevap:
C) 12
Anlamadım sona doğru anlaşılır değil
Bir matematik öğretmeni öğrencilerine şu şekilde bir tanım vermiştir: “5 ten büyük asal böleni olmayan pozitif tam sayılara 5-düzgün sayı denir.” Buna göre, iki basamaklı en büyük 5-düzgün sayının pozitif bölen sayısı kaçtır?
Cevap:
5-düzgün sayılar yalnızca 2, 3 ve 5 gibi 5’ten büyük asal bölenleri olmayan sayılardır. Şimdi, iki basamaklı en büyük 5-düzgün sayı olan sayıyı bulalım.
Adım 1: İki Basamaklı En Büyük 5-Düzgün Sayıyı Belirlemek
- 2, 3 ve 5’in çarpanlarıyla iki basamaklı sayılar oluşturmalıyız.
- Bu sayıların kombinasyonlarından elde edilebilecek en büyük iki basamaklı sayıyı bulmamız gerekiyor.
Deneme yapalım:
- 2, 3, ve 5'in kuvvetlerini kullanarak en büyük sayıyı bulalım:
- 2^4 = 16
- 3^2 = 9
- 5^1 = 5
Farklı kombinasyonları deneyerek iki basamaklı en büyük sayıyı bulalım:
- 2^3 \times 3 = 8 \times 3 = 24
- 2^3 \times 5 = 8 \times 5 = 40
- 2^2 \times 5^1 \times 3^1 = 4 \times 5 \times 3 = 60
- 2^1 \times 5^1 \times 3^1 = 2 \times 5 \times 3 = 30
Görüyoruz ki, iki basamaklı en büyük 5-düzgün sayı 60’tır.
Adım 2: Pozitif Bölen Sayısını Bulmak
Sayının pozitif bölenlerinin sayısını bulmamız gerekiyor. Asal çarpanları kullanalım:
$$ 60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 $$
Pozitif bölenlerin sayısını bulma formülü:
$$ (a + 1) \times (b + 1) \times (c + 1) $$
Burada,
- a = 2 (2’nin kuvveti)
- b = 1 (3’ün kuvveti)
- c = 1 (5’in kuvveti)
Hesaplayalım:
$$ (2 + 1) \times (1 + 1) \times (1 + 1) $$
$$ = 3 \times 2 \times 2 $$
$$ = 12 $$
Sonuç:
İki basamaklı en büyük 5-düzgün sayının pozitif bölen sayısı 12’dir.
Cevap: C) 12
(a, b) sayı ikilisinde, a’nın kendisi hariç pozitif tam bölenlerinin toplamı b sayısına ve b’nin kendisi hariç pozitif tam bölenleri toplamı a sayısına eşit ise a ve b sayılarına “Dost Sayılar” adı verilmektedir. Birbirinden farklı 284 ve 2xy üç basamaklı sayıları Dost Sayılar olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
Cevap:
İlk olarak 284 sayısının dost sayısı olan sayıyı bulmalıyız. Dost Sayılar kuralına göre, 284 sayısının kendisi haricindeki tam bölenlerinin toplamı 2xy sayısına eşit olmalıdır.
Adım 1: 284 Sayısının Pozitif Tam Bölenlerini Bulalım
Pozitif tam bölenler:
- 1, 2, 4, 71, 142
Bu bölenlerin toplamı:
$$ 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 $$
Dost sayısının tanımına göre, 284’ün dost sayısı 220’dir ve 220’nin dost sayısı da 284 olmalıdır.
Adım 2: 220 Sayısı ve Pozitif Tam Bölenleri
Pozitif tam bölenler:
- 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110
Bu bölenlerin toplamı:
$$ 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 $$
Adım 3: 2xy Sayısını 220’ye Eşitlemek
2xy sayısı 220 olduğuna göre, burada 2xy’nin kendisi 220. Bu durumda 2xy’nin basamaklarını inceleyelim:
- x = 2, y = 2
x + y toplamı:
$$ x + y = 2 + 2 = 4 $$
Sonuç:
x ve y değerlerinin toplamı 4’tür.
Cevap: C) 4