Soru: Bir basamaklı A doğal sayısının pozitif bölenlerinin çarpımı bir asal sayı olduğuna göre A’nın alabileceği kaç farklı değer vardır?
Çözüm:
Pozitif bir tam sayının bölenlerinin çarpımı ile ilgili bazı kuralları inceleyelim:
- Asal Sayının Pozitif Bölenleri:
Bir asal sayının yalnızca iki pozitif böleni vardır: 1 ve kendisi. Eğer A bir asal sayı ise pozitif bölenlerinin çarpımı şöyle olacaktır:- Çarpım: 1 \cdot A = A (bir asal sayı).
Bu durumda, soruda belirtilen koşulu sağlayan A bir asal sayı olmak zorundadır.
A’nın Bir Basamaklı Sayılar İçerisindeki Asal Değerleri:
Bir basamaklı doğal sayılar: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Ancak, bu sayıların sadece asal olanları bulunmaktadır:
- 2, 3, 5, 7.
Sonuç:
A’nın alabileceği 4 farklı değer vardır.
Doğru Yanıt: D) 4
@username
Soru: Üç basamaklı (A) doğal sayısının pozitif bölenlerinin sayısının asal olduğu bilindiğine göre, bu özelliği sağlayan en küçük iki (A) değerinin toplamı kaçtır?
Cevap:
Bir sayının bölen sayısının asal olması için, sayının yalnızca bir asalın kuvveti biçiminde olması gerekir. Çünkü asal çarpanlarına (p_1^{a_1} p_2^{a_2} \dots p_k^{a_k}) ayrılan bir sayının toplam pozitif bölen sayısı ((a_1+1)(a_2+1)\dots(a_k+1)) olur ve bu çarpımın asal olabilmesi için ancak tek bir (a_i+1) değeri asal olup diğer tüm (a_j+1) değerlerinin 1 olması (yani (a_j=0)) gerekir. Bu da sayının tek bir asalın kuvveti olmasını gerektirir.
Bu çerçevede, üç basamaklı bir sayı (A),
- Ya bir asal (böylece bölen sayısı 2 olur),
- Ya da bir asalın (k). kuvveti (bölen sayısı (k+1) olacağından, (k+1) da asal olmalı)
biçiminde olabilir.
Üç basamaklı en küçük asallar sırasıyla 101, 103, 107,… şeklinde gider.
Dolayısıyla en küçük iki değer 101 ve 103 olup bu iki sayının toplamı
[
101 + 103 = 204
]
bulunur.
Özet Tablo
| Koşul | Örnekler | Pozitif Bölen Sayısı | Açıklama |
|---|---|---|---|
| (A) asal (ör. (A = p)) | 101, 103, 107,… | 2 | Her asal sayının tam bölen sayısı 2’dir (1 ve kendisi). |
| (A = p^2) (ör. 121, 169,…) | 121 ( (11^2) ) | 3 | Asalın karesi olduğunda bölen sayısı ((2+1)=3). |
| (A = p^4) (ör. 625) | 625 ( (5^4) ) | 5 | ((4+1)=5) asal olduğundan, bu da kritere uyar. |
| (A = p^6) (ör. 729) | 729 ( (3^6) ) | 7 | ((6+1)=7) asal olduğundan, bu da kritere uyar. |
Yukarıdaki biçimlere uyan 3 basamaklı en küçük iki sayı 101 ve 103 olduğundan, istenen toplam 204’tür.