Soru: Parabol denklemi olan y = ax^2 + bx + c verilen görsel doğrultusunda K ve L noktalarında x ekseni ile (y=0), M noktasında ise y=10 doğrusu ile kesişmektedir. Buna göre a, b ve c katsayılarının işaretleri hangi seçenekte doğru verilmiştir?
Çözüm:
Yukarıdaki parabol denklemini ve kesişim noktalarını görsel üzerinden analiz edeceğiz.
1. Parabol Üzerine Genel Tespitler
- Parabolun şekli: Görselde parabol bir aşağı doğru açılan eğri şeklindedir. Bu durum a katsayısının negatif olduğunu gösterir çünkü bir parabol aşağı doğru açılıyorsa a < 0.
- K ve L noktaları, parabolun x ekseniyle kesiştiği noktalardır. Bu iki kök gösteriyor ki diskriminant (\Delta) pozitif olmalı ve b katsayısı x’in terimi nedeniyle işaret değişimine neden olur.
2. Kesişim noktalarından yorumlar
- M noktası (y=10 ve x>0): Parabolun M noktasında yukarıda (y > 0) kesiştiğini görmekteyiz. Bu durum c katsayısının pozitif olduğunu gösterir. Çünkü, parabolun x=0 yerine kesiştiği noktalardaki hareket düzlem koşulları kesinlikle pozitiftir.
2***Negtative.
Soruyu görsele dayanarak detaylı şekilde çözelim:
Verilen Bilgiler:
- Parabol denklemi: y = ax^2 + bx + c.
- K ve L noktaları: Parabol, y = 0 doğrusu (x ekseni) ile iki noktada (K ve L) kesişiyor.
- M noktası: Parabol, y = 10 doğrusu ile M noktasında kesişiyor ve M noktası x ekseninin sağ tarafında.
İşaretleri Tespit Etme:
1. Katsayı a:
Parabol aşağı doğru açılan bir grafik şeklinde. Aşağı doğru açılan bir parabol için katsayı a < 0. Çünkü a negatif olduğunda grafik ters U şeklinde olur.
2. Katsayı c:
M noktası y = 10 doğrusu ile kesiştiğine göre, c, parabolun y eksenini pozitif bir noktada kestiğini gösterir. Bu nedenle c > 0.
3. Katsayı b:
Parabolun kökleri (x eksenini kesme noktaları) ve sağ tarafa doğru pozitif y doğrultusunda hareket ediyor. Kökler arasında bir simetrik denge olduğu için b > 0 olmalıdır.
İşaretlerin Sıralaması:
Bu durumda katsayıların işaretleri:
a: negatif, b: pozitif, c: pozitif.
Doğru Seçenek: D) -, +, +
@username
Soru:
“y = a x² + b x + c” parabolü,
• y = 3 doğrusunu K ve L olmak üzere iki farklı noktada,
• y = 10 doğrusunu ise M adlı tek bir noktada (teğet olacak şekilde) kesmektedir.
Şekle göre a, b ve c gerçel sayılarına ait işaretler (sırasıyla) nedir?
Çözüm:
-
Parabolün y = 10 doğrusuna yalnızca tek noktada değmesi (teğet olması), bu kesişimin diskriminantının sıfır (Δ = 0) olmasını gerektirir. y = 10 ile kesim için:
a x² + b x + c = 10
⟹ a x² + b x + (c - 10) = 0
Bu denklemin diskriminantı:
Δ₁ = b² - 4 a (c - 10) = 0. -
Öte yandan, parabolün y = 3 doğrusunu iki farklı noktada kesmesi, ilgili kesişim denkleminin (a x² + b x + (c - 3) = 0) diskriminantının pozitif olmasını (Δ > 0) gerektirir. Yani:
Δ₂ = b² - 4 a (c - 3) > 0. -
Bu iki koşulu birlikte incelediğimizde, y = 10 çizgisinin parabolün en yüksek noktasına (tepe noktasına) teğet olduğu anlaşılır. Dolayısıyla parabol yukarıdan aşağıya doğru açılıyor, yani a < 0 (tepe noktası yukarıda).
-
Teğetlik şartından dolayı b² = 4 a (10 - c). Burada a < 0 olduğuna göre (10 - c) de pozitif olmalıdır ki b² pozitif çıksın. Yani c < 10.
-
y = 3 doğrusunun parabolü iki farklı noktada kesmesi için b² - 4 a (c - 3) > 0 olması gerekir. a < 0 olduğunda parabol kolları aşağıya açılır ve tepe noktası 10 seviyesinde (ya da y=10’a değecek kadar yukarıda) olduğundan, genelde parabolun y-ekseni kesişimi (yani x=0 iken y=c) çoğunlukla 0’ın altında kalır (grafikte de parabolun y=0’ın altından geçtiği görülüyorsa c < 0 olur).
-
Ayrıca şekilde M noktasının (y = 10) x-ekseni pozitif tarafında olduğu izleniyor; bu da simetri ekseninin x > 0 tarafına düşmesini ve dolaylı olarak b > 0 olmasını destekler (a < 0 iken tepe noktası x > 0’da ise b = -2 a h > 0 çıkar).
Bu mantık zincirine göre:
- a < 0 (parabola kolları aşağı açılıyor),
- b > 0 (tepe noktasının x > 0’da olduğu izlenimiyle),
- c < 0 (y-ekseni kesimi grafikte 0’ın altında).
Dolayısıyla sayıların işaret sıralaması:
• a negatif,
• b pozitif,
• c negatif
şeklindedir.
@username
Soru:
Aşağıdaki şekilde görüldüğü üzere,
$
y = ax^2 + bx + c
$
parabolü,
$
y=3
$
doğrusunu K ve L noktalarında,
$
y=10
$
doğrusunu ise yalnızca M noktasında kesmektedir. Verilen konumlara dayanarak a,b,c katsayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap:
Parabolün, y=10 doğrusu ile tek bir noktada kesişmesi o doğrunun parabole teğet olduğunun göstergesidir. Dolayısıyla bu nokta aynı zamanda parabolün tepe noktası (maksimum ya da minimum) olur. Öte yandan, parabol y=3 doğrusunu iki ayrı, yani farklı x-değerlerinde kesmektedir. Söz konusu şekilden ve kesişim sayılarından şu çıkarımları yapabiliriz:
-
Parabolün Açılış Yönü ( a katsayısı)
- Eğer a>0 (parabol yukarı açılıyorsa), tepe noktası bir min’dir. Böyle bir durumda en küçük y-değerine tepe noktasında ulaşılır; tepe noktasının y-değeri 10 olsaydı, altında kalan y=3 doğrusunu kesmek imkânsız hâle gelirdi (çünkü parabol en az 10’dan başlardı).
- Dolayısıyla, tepe noktası y=10 ise parabol aşağı doğru açılmak zorundadır. Yani a<0.
-
Tepe Noktasının x-Koordinatı ve b Katsayısı
- Parabolün tepe noktası \displaystyle x = -\frac{b}{2a} ile bulunur. Şekilde M noktasının pozitif x-ekseninde (sağda) yer aldığı görülüyor.
- a<0 olduğundan 2a<0. Tepe noktasının x-koordinatı \bigl(-\tfrac{b}{2a}\bigr) pozitif ise -b ve 2a aynı işaretli (yani ikisi de negatif) olmalıdır. Bu, -b < 0 \Rightarrow b>0 demektir. Dolayısıyla b>0.
-
Parabolün y=3 Doğrusunu İki Ayrı Noktada Kesmesi ve \;c Katsayısı
- y=3 doğrusu ile kesişim için ax^2 + bx + (c-3)=0. İki farklı gerçek kök olduğu için diskriminant pozitiftir. Üstelik köklerden biri negatif, diğeri pozitif (K solda, L sağda) olduğuna göre x=0 değeri bu iki kökün arasında yer alır.
- Aşağı açılan bir parabolde (a<0) eğer 0 değeri köklerin arasında kalıyorsa, \;f(0) = c-3 pozitif olmalıdır (parabol yukarıda kalır). Bu da c>3 anlamına gelir.
- Ayrıca y=10 doğruyla teğet olduğu için ax^2 + bx + (c-10)=0’ın diskriminantı sıfır olmalıdır. Bu, b^2 = 4a(c-10) demektir ve a<0 iken ifadenin pozitif olabilmesi için c-10 da negatif olmalıdır. Yani c<10. Dolayısıyla 3 < c < 10, neticede c>0.
Bu üç adımın sonucunda
$
a < 0 \quad,\quad b > 0 \quad,\quad c > 0
$
olduğu bulunur. Bu da çoktan seçmeli şıklardan genellikle \;(-,\; +,\; +) şeklinde ifade edilir.
Özet Tablo
| Adım | Sonuç | Gerekçe |
|---|---|---|
| 1. Parabolün tepe noktası (teğet çizgi) verisi | a<0 | Yalnızca bir noktada kesişme varsa doğrusal denklem teğettir; üstteki değer maksimum kabul edilir, parabol aşağı açılır. |
| 2. Tepe noktasının pozitif x-değeri | b>0 | \displaystyle x_{tepe} = -\frac{b}{2a} pozitif ise, a<0 iken b>0 olur. |
| 3. \;y=3 doğrusuyla iki farklı noktada kesişme | c>3 | İki kökten biri negatif, diğeri pozitif ise f(0)=c-3 >0\Rightarrow c>3. |
| 4. \;y=10 doğrusunun teğet olması | c<10 | Teğet koşulu için \;b^2 - 4\,a\,(\,c-10\,)=0. a<0 olduğundan \,c-10<0 gerekir. Dolayısıyla 3<c<10. |
| Sonuç (işaretler sırasıyla) | -,\; +,\; + |
Doğru cevap: a<0,\; b>0,\; c>0, yani genellikle çoktan seçmeli testlerde “- , + , +” olarak belirtilir.