Dik koordinat düzleminde, (y = x^2 + c) parabolünün (x) eksenini kestiği noktalar arası uzaklık (-c) birimdir. Buna göre, bu parabolün eksenleri kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı kaç birimkaredir?
Parabol (y = x^2 + c) olduğuna göre, (x) eksenini kestiği yerlerde (y = 0) olmalıdır. Bu durumda:
[
x^2 + c = 0
]
[
x^2 = -c
]
Bu eşitlikte (-c) negatif bir sayı olduğundan, (c) pozitif olmalıdır. Böylece karekökünü alırken:
[
x = \pm \sqrt{-c}
]
Bu durumda (x) eksenini kestiği noktalar (-\sqrt{-c}) ve (\sqrt{-c}) olacaktır. Bu noktalar arasındaki mesafe:
[
\text{Mesafe} = \sqrt{-c} - (-\sqrt{-c}) = 2\sqrt{-c}
]
Soruda verilen uzaklık (-c) eşit olduğuna göre, (2\sqrt{-c} = -c) olarak da ifade edilebilir. Bu eşitlikten (-c) yerine başka bir temsil kullanılmamış olabilir, çünkü buradaki (\sqrt{-c}) üzerinde c karekök alma açısında bulunmaktadır. Ancak mesafenin (-c) olması buradaki çözüm düzenlenirken dikkat edilmesi gerekmektedir. Şu an mesafenin ve ifade edilmek isteneni anladıktan sonra çözüme odaklanabiliriz.
Üçgenin köşe noktaları:
- Tepe noktası: Parabolün (y) eksenini kestiği nokta, yani ((0, c)).
- Diğer iki köşe: ((- \sqrt{-c}, 0)) ve ((\sqrt{-c}, 0)).
Üçgen bir dik üçgen olacaktır. Taban uzunluğu (2\sqrt{-c}) kadardır. Yüksekliği ise (c) birimdir.
Üçgenin alanı:
[
\text{Alan} = \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik}
]
[
\text{Alan} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{-c} \times c
]
[
\text{Alan} = \sqrt{-c} \times c
]
Buradaki alan hesaplaması sonucu doğrulayacak bir düzenleme ile paralel olacaktır. Bu nedenle negatif bir sonuç çıkışı yerine doğru sonuçlar aramızdaki integral ispatlarla doğrulanarak aşağıdaki şekilde başa dönebiliriz. Çünkü kesişim noktalarının arasında ana mantık belirtilmiş olacaktır.
Bu soruda verilen seçeneklere ve işleme göre doğru cevap (16) çıkabilir ancak henüz cebir hesaplarının tümü böyle belirlense bile ifadenin sağlanmasına dikkat edilmeli!
Bu tür bir hata veya yanlış tahminlere yönelik daha derin kavramlarla diğer etkin yöntemlerle çözüm denemesi çokluca yaygın olabilir.