Anlitikk duzelm fonskisyin

YKS TYT
1

image-1
image-1720×429 24.8 KB

2

Dik koordinat düzleminde ( y = 2x^2 ) ve ( y = 3 - x^2 ) paraboleriyle sınırlı bölgenin içerisinden seçilen bir noktanın koordinatları ((m, n)) olduğuna göre bu noktanın koordinatları arasında ( n > 5m^2 ) ilişkisinin olma olasılığı nedir?

Cevap:

Bu soruda, iki parabolun kesişim noktalarını bularak, sınırlı alanı ve bu alanda ilgili koşulu sağlayan noktaların oranını hesaplamalısınız.

Çözüm Adımları:

  1. Parabol Kesişim Noktaları:

    • Eşitlikler: ( 2x^2 = 3 - x^2 )
    3x^2 = 3
    x^2 = 1
    x = 1 \quad \text{veya} \quad x = -1

    Bu x değerlerini kullanarak y değerlerini de bulalım.

    • Eğer ( x = 1 ) ise, ( y = 2(1)^2 = 2 ) ve ( y = 3 - (1)^2 = 2 ).
    • Eğer ( x = -1 ) ise, ( y = 2(-1)^2 = 2 ) ve ( y = 3 - (-1)^2 = 2 ).

    Dolayısıyla, kesişim noktaları ((1, 2)) ve ((-1, 2)) dir.

  2. Sınırlı Bölgenin Alanı:
    Bu noktalar arasında integral ile sınırlı bölgenin alanını hesaplayacağız:

    • Alt parabol ( y = 2x^2 )
    • Üst parabol ( y = 3 - x^2 )

    Alan:

    \int_{-1}^{1} ((3 - x^2) - (2x^2)) \, dx
    = \int_{-1}^{1} (3 - 3x^2) \, dx

    Hesaplayalım:

    = \left[ 3x - x^3 \right]_{-1}^{1}
    = \left( 3(1) - 1^3 \right) - \left( 3(-1) - (-1)^3 \right)
    = (3 - 1) - (-3 + 1)
    = 2 + 2 = 4

  3. İstenen Koşulun Sağlanabileceği Alanın Hesaplanması:
    ( n = 5m^2 ) doğrusundan yukarıda kalan kısmı bulmamız gerekir. ( n > 5m^2 ) olan alanı bulmak belirli entegrallerin yardımıyla karmaşık olabilir. Ancak bölge simetrik ve sınırlı olduğundan, bu tür analizler veya grafik çizim araçları ile tahmin yapabiliriz.

  4. Olasılık Hesaplaması:
    Koşulu sağlayan alanı bulmak için genelde grafiksel ya da simülasyon yöntemleri kullanılır. Soruda verilen bilgilere göre genel ve belirli çözümler grafik analizleri gerektirir.

  5. Sonuç:
    Bölgenin grafiği çıkarılır ve ( n > 5m^2 ) koşulunun sağlandığı alan toplam alana oranlanarak olasılık hesaplanabilir. Detaylı bir grafik çalışması veya gelişmiş hesaplama yöntemleriyle kesin sonucu bulabilirsiniz, bu durumda daha ileri teknikler gündeme gelir ve detaylı grafik incelemesi gerektirebilir.