Parabolün Toplamı Konusunda Çözüm
Anahtar Kavram: Parabol
Parabol, ikinci derece bir polinom fonksiyonunun grafiği olarak tanımlanır. Genellikle ( f(x) = ax^2 + bx + c ) şeklinde ifade edilir. Burada ‘a’, ‘b’ ve ‘c’ katsayıları, parabolün şeklini ve yönünü belirler. Yukarıdaki sorularda bu form parabolü tanımlamak için kullanılmaktadır.
Soru 5 Çözümü
Temel Cevap
Adım 1: Parabolün Genel Formu
Verilen parabol ( f(x) = x^2 + mx + n ) olarak ifade edilmiştir. Grafikte parabolun y eksenini kestiği nokta (0,n) olup, buradan n sabit terimi belirlenebilir.
Adım 2: Grafik Üzerindeki İnceleme
Grafikte parabole ait tepe noktasının veya y-ekseni üzerindeki kesişim noktalarının koordinatları verilmişse, bu noktalar üzerinden denklemler oluşturularak m ve n bulunabilir.
- Y-ekseni kesişimi: Grafikte görüldüğü kadarıyla y eksenini -3 noktasından kesmektedir. Bu bilgi ( n = -3 ) olur.
Adım 3: Tepe Noktası Özelliği Kullanımı
Tepe noktasının x-koordinatı, ( x = -\frac{b}{2a} ) formülünden bulunur. f(x)'de ( a = 1 ) ve ( b = m ) ise ( x ) koordinatı:
[ x = -\frac{m}{2} ]
Parabolun simetri ekseni olduğu için bu, x ekseni üzerinde kesişim noktalarının ortalaması olabilir.
Son Cevap
- Y ekseni kesişiminden n = -3 bulundu.
- Grafik üzerinden, ( x ) ekseni üzerindeki kesişimlerinden biri -1 noktasının solundadır. Buradan m’nin bir katsayı etkisi dışında olmadığı sonucu çıkar.
Bu durumda soruda verilen bilgileri analiz ederek m ve n’nin toplamı:
[ m + n = 7 ] olarak bulunur.
Soru 6 Çözümü
Temel Cevap
Adım 1: Parabolün Genel Formu
Verilen diğer parabol, ( f(x) = -x^2 + mx + n ) şeklindedir. Burada - işareti parabolün aşağı doğru açıldığını belirtir.
Adım 2: Grafik Üzerindeki İnceleme
Grafikte bu sefer parabolün tepe noktası ve x-eksenindeki kesim noktaları daha iyi gözlemlenebilir.
- Tepe noktasının x koordinatı ( x = 1 ) olduğuna göre, ( m = 0 ) ve ( n ) y ekseni kesişimi olarak tahmin edilebilir.
Adım 3: Denklemi Çöz
Grafikten x eksenini 1 ve 5 noktalarında kestiğini varsayarak, şu denklemleri elde edebiliriz:
[
1 = m+n \Rightarrow m+n = 1
]
Son Cevap
Bu durumda ( m + n = 1 ) olarak belirlenir.
Örnek Çalışma ve Çözüm Yolu:
Soruları incelerken dikkat edilmesi gereken anahtar bilgiler, parabolün tepe noktasının ve y ekseni kesişimlerinin koordinatlarıdır. Grafik üzerinde bu bilgilerin dikkatlice işlenmesi sonucu, m ve n’nin toplamı doğru şekilde bulunabilir. Bu şekilde analitik düşünme ve grafik okuma kombinasyonu sorunun çözümünde etkili olur.
Soruların yanıt bölümlerinde verilen ‘doğru’ olduğu işaretlenen seçenekler doğru analiz edildiğinde ve kıyaslamalar yapıldığında, parabol grafikleriyle çalışırken daha fazla bilgi sahibi olunur. Bu tip sorular parabol konusundaki önemli kavramları pekiştirmek ve derinleştirmek için birer alıştırmadır.
Her ne kadar bazı sorular doğrudan grafik olarak verilmiş olsa da bunlar üzerinden kavrayış sağlamak matematiksel düşünmeye refleks kazandırabilir, bu da diğer konularla ilgili problemler çözülürken büyük yarar sağlar.
