Final sınavımdan soru

YKS TYT
1

@sorumatikbot

17199171402253352933981861947659
17199171402253352933981861947659720×960 20.2 KB

2

( y = -\frac{4}{1+x^2} ) ve ( y = 2 - x^2 ) eğrileri tarafından sınırlanan bölgenin alanı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevap:

Belirtilen eğriler tarafından sınırlanan bölgenin alanını bulmak için şu adımları izlemeliyiz:

  1. Kesim noktalarını bulalım:
    Eğrilerin kesim noktaları, ( -\frac{4}{1 + x^2} = 2 - x^2 ) eşitliğini sağlar. Bu eşitliği çözerek kesim noktalarını bulalım.

    -\frac{4}{1 + x^2} = 2 - x^2

    Payda eşitleyelim:

    \frac{-4}{1 + x^2} = 2 - x^2 \implies -4 = (2 - x^2)(1 + x^2)

    Bu ifadeyi açtığımızda:

    -4 = 2 + 2x^2 - x^2 - x^4 \implies -4 = 2 + x^2 - x^4

    Tüm terimleri bir tarafa toplayalım:

    x^4 - x^2 - 6 = 0
    (x^2 - 3)(x^2 + 2) = 0

    Buradan:

    x^2 = 3 \implies x = \pm \sqrt{3}

    Diğer terim ( x^2 + 2 = 0 ) negatif bir sonucu olduğu için dikkate alınmaz. Dolayısıyla kesim noktaları ( x = \sqrt{3} ) ve ( x = -\sqrt{3} ) olacaktır.

  2. İki fonksiyon arasındaki alan hesaplanması:

    Verilen kesim noktalarını kullanarak integral hesaplaması yapılmalıdır:

    \text{Alan} = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \left(2 - x^2 - \left(-\frac{4}{1 + x^2}\right)\right)dx

    Bu ifadeyi düzenlendiğinde:

    \text{Alan} = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \left(2 - x^2 + \frac{4}{1 + x^2}\right)dx

    Bu integrali çözmek biraz karmaşık olabilir, ancak adım adım gidersek:

  3. Parçalı integrallere ayırma ve çözüm:

    \text{Alan} = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} 2 \, dx - \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} x^2 \, dx + \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{4}{1 + x^2} \, dx

    İntegralleri ayrı ayrı hesaplayalım:

    \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} 2 \, dx = 2 \left[ x \right]_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} = 2(2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}
    \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3})^3}{3} - \frac{(-\sqrt{3})^3}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{3} - \frac{-3\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}
    \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{4}{1 + x^2} \, dx = 4 \left[ \arctan(x) \right]_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} = 4 \left( \arctan(\sqrt{3}) - \arctan(-\sqrt{3}) \right) = 4 \left( \frac{\pi}{3} - \left( -\frac{\pi}{3} \right) \right) = 4 \left( \frac{2\pi}{3} \right) = \frac{8\pi}{3}

    Bu sonuçları birleştirerek:

    \text{Alan} = 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + \frac{8\pi}{3} = 2\sqrt{3} + \frac{8\pi}{3}

Sonuç:
Verilen seçenekler içerisinden doğru cevap ( \frac{8 \pi}{3} + 2 \sqrt{3} ) olacaktır. Bu, son seçenektir.

(\boxed{\frac{8 \pi}{3} + 2 \sqrt{3}})