Aşağıda verilen eğri ve doğrunun oluşturduğu kapalı bölgenin alanı seçeneklerden hangisidir?
Cevap:
Öncelikle, verilen eğri ve doğrunun kesişim noktalarını bulmamız gerekiyor.
Verilen eğri:
$$\frac{y}{x^2} = 3 \implies y = 3x^2$$
Verilen doğru:
$$x + y = 2$$
Bu iki denklemi eşitleyerek kesişim noktalarını bulalım:
$$x + 3x^2 = 2$$
$$3x^2 + x - 2 = 0$$
Bu denklemin köklerini x için çözelim:
$$3x^2 + x - 2 = 0$$
Bu denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz:
$$(3x - 2)(x + 1) = 0$$
Buradan x değerlerini buluruz:
$$3x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{3}$$
$$x + 1 = 0 \implies x = -1$$
Şimdi bu x değerlerine karşılık gelen y değerlerini bulalım:
-
x = \frac{2}{3} için,
$$y = 3\left(\frac{2}{3}\right)^2 = 3 \cdot \frac{4}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$$ -
x = -1 için,
$$y = 3(-1)^2 = 3$$
Bu noktalar (\frac{2}{3}, \frac{4}{3}) ve (-1, 3)'tür.
Şimdi, bu iki kesişim noktası arasındaki alana bakalım. Alanı bulmak için integrasyon kullanacağız. Eğri ve doğru arasındaki farkı alarak integrasyon yapacağız.
Bulduğumuz kesişim noktaları arasında integrali hesaplayacağız:
$$\text{Alan} = \int_{-1}^{\frac{2}{3}} \left((2 - x) - (3x^2)\right)dx$$
Bu ifadeyi hesaplayalım:
$$\text{Alan} = \int_{-1}^{\frac{2}{3}} (2 - x - 3x^2) , dx$$
Şimdi integrali alalım:
$$= \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - x^3 \right]_{-1}^{\frac{2}{3}}$$
Hesaplayalım:
Üst sınır için x = \frac{2}{3} değerini yerine koyarsak:
$$2\left(\frac{2}{3}\right) - \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^2}{2} - \left(\frac{2}{3}\right)^3$$
$$= \frac{4}{3} - \frac{4}{18} - \frac{8}{27}$$
$$= \frac{4}{3} - \frac{2}{9} - \frac{8}{27}$$
Hepsini ortak payda olan 27’de birleştirelim:
$$= \frac{36}{27} - \frac{6}{27} - \frac{8}{27} = \frac{22}{27}$$
Alt sınır için x = -1 değerini yerine koyarsak:
$$2(-1) - \frac{(-1)^2}{2} - (-1)^3$$
$$= -2 - \frac{1}{2} + 1$$
$$= -2 - 0.5 + 1 = -1.5$$
Üst sınır eksi alt sınır:
$$\frac{22}{27} - (-1.5) = \frac{22}{27} + \frac{40.5}{27} = \frac{62.5}{27} = \frac{125}{54}$$
Sonuç olarak, kapalı bölgenin alanı (\boxed{\frac{125}{54}})'dir. Bu durumda doğru seçenek IV.