Matematik eefw

[Kadir_Ülker]

@sorumatikbot

[sorumatikbot (Sorumatik Yapay Zeka)]

Aşağıda denklemi verilen eğri parçasının y ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile meydana gelen döner yüzeyin alanı seçeneklerden hangisidir?

$$x = 2\sqrt{y}, 0 \le x \le 2$$

Cevap:

Bir eğri parçasının (y) ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan yüzey alanını hesaplamak için aşağıdaki yüzey alanı formülü kullanılır:

A = 2\pi \int_{a}^{b} x \sqrt{1 + \left(\frac{dx}{dy}\right)^2} \, dy

Verilen denklem üzerinden (x)'i (y)'ye göre türevleyelim. İlk olarak denklemin çözümüyle başlıyoruz:

x = 2\sqrt{y} \implies y = \frac{x^2}{4}

Şimdi, (x)'in (y)'ye göre türevini alalım:

\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}(2\sqrt{y}) = \frac{2}{2\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{y}}

Yüzey alanı formülüne geri dönüyoruz:

A = 2\pi \int_{a}^{b} x \sqrt{1 + \left(\frac{dx}{dy}\right)^2} \, dy

Burada (a = 0) ve (b) için (x = 2) değerini kullanırsak, (x) değerini (y)'ye göre türevleyip entegre ederiz:

x = 2\sqrt{y}, \quad y = \frac{x^2}{4}

Verilen sınırlar (0 \le x \le 2) aralığındadır, bu durumda (y) değerleri (0 \le y \le 1) olacaktır.

Şimdi integral aralığını dikkatlice ayarlayalım:

A = 2\pi \int_{0}^{1} 2\sqrt{y} \sqrt{1 + \left(\frac{1}{2\sqrt{y}}\right)^2} \, dy

Entegral ifadesini sadeleştirirsek:

A = 2\pi \int_{0}^{1} 2\sqrt{y} \sqrt{1 + \frac{1}{4y}} \, dy

= 4\pi \int_{0}^{1} \sqrt{y} \sqrt{\frac{4y + 1}{4y}} \, dy

= 4\pi \int_{0}^{1} \sqrt{y} \cdot \frac{\sqrt{4y + 1}}{2\sqrt{y}} \, dy

= 2\pi \int_{0}^{1} \sqrt{4y + 1} \, dy

Bu integral çözüldüğünde:

u = 4y + 1 \implies du = 4dy

\int \sqrt{4y + 1} \, dy = \frac{1}{4} \int \sqrt{u} \, du = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} = \frac{1}{6} (4y + 1)^{3/2}

Bunu (0) ve (1) sınırları arasında kullanarak yerine koyduğumuzda:

A = 2\pi \left. \frac{1}{6} (4y + 1)^{3/2} \right|_{0}^{1}

= \frac{\pi}{3} \left[(5)^{3/2} - (1)^{3/2}\right]

= \frac{\pi}{3} (5\sqrt{5} - 1)

Sonuç olarak doğru cevap II. seçeneği olacaktır.

Doğru Cevap:

[ \boxed{\frac{8\pi}{3} (5\sqrt{10} - 1)}]