Paraboll

YKS TYT YKS Matematik
1

17428330017246874983247534816747
17428330017246874983247534816747720×960 29.6 KB

2

Sorunun çözümü:

Verilen parabol f(x) = x^2 - 4x + 5 şeklindedir. Soruda bu parabol üzerinde yapılan öteleme ve simetrik işlemler sonucunda elde edilen g(x) ve h(x) parabolunun tepe noktalarıyla oluşturulan üçgenin alanı isteniyor. Şimdi adım adım çözelim:

Adım 1: f(x) parabolünün tepe noktasını bulma

Bir parabolün tepe noktası, aşağıdaki formül ile bulunur:
$$x_{\text{tepe}} = -\frac{b}{2a}$$

f(x) = x^2 - 4x + 5 için:

  • a = 1,
  • b = -4,
  • c = 5

Tepe noktası:

x_{\text{tepe}} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2

Tepe noktasındaki y değerini bulmak için f(x) fonksiyonunda x=2 yerine koyarız:

f(2) = 2^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1

Bu durumda, f(x) parabolünün tepe noktası T_f = (2, 1) olur.

Adım 2: g(x) parabolünü bulma

Soruda, f(x) parabolünün x yönünde 4 birim sağa ötelenmesi sonucu g(x) parabolünün elde edildiği belirtiliyor.
Bir parabol, x yönünde k birim sağa ötelendiğinde, $x$’in yerine (x-k) koyulur.

Bu durumda:

g(x) = (x-4)^2 - 4(x-4) + 5

Hesaplayalım:

g(x) = (x^2 - 8x + 16) - 4(x-4) + 5
g(x) = x^2 - 8x + 16 - 4x + 16 + 5
g(x) = x^2 - 12x + 37

g(x) parabolünün tepe noktasını bulalım:
Tepe noktası formülü aynı:

x_{\text{tepe}} = -\frac{b}{2a}

g(x) = x^2 - 12x + 37 için:

  • a = 1,
  • b = -12
x_{\text{tepe}} = -\frac{-12}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6

y değerini bulmak için g(x) fonksiyonunda x=6 yerine koyarız:

g(6) = 6^2 - 12(6) + 37
g(6) = 36 - 72 + 37 = 1

Bu durumda, g(x) parabolünün tepe noktası T_g = (6, 1) olur.

Adım 3: h(x) parabolünü bulma

Soruda, g(x) parabolünün x eksenine göre simetriği alınarak h(x) parabolünün elde edildiği belirtiliyor.
Bir parabolün x eksenine göre simetriği, x yerine -x koyarak hesaplanır.

g(x) = x^2 - 12x + 37 ise:

h(x) = (-x)^2 - 12(-x) + 37
h(x) = x^2 + 12x + 37

h(x) parabolünün tepe noktasını bulalım:
Tepe noktası formülü:

x_{\text{tepe}} = -\frac{b}{2a}

h(x) = x^2 + 12x + 37 için:

  • a = 1,
  • b = 12
x_{\text{tepe}} = -\frac{12}{2 \cdot 1} = -\frac{12}{2} = -6

y değerini bulmak için h(x) fonksiyonunda x=-6 yerine koyarız:

h(-6) = (-6)^2 + 12(-6) + 37
h(-6) = 36 - 72 + 37 = 1

Bu durumda, h(x) parabolünün tepe noktası T_h = (-6, 1) olur.

Adım 4: Üçgenin alanını bulma

f(x), g(x), ve h(x) parabolünün tepe noktaları:

  • T_f = (2, 1)
  • T_g = (6, 1)
  • T_h = (-6, 1)

Bu tepe noktalar, y=1 doğrusu üzerinde bulunuyor. Üçgenin tabanı T_h ve T_g arasındaki mesafe:

\text{Taban} = |x_g - x_h| = |6 - (-6)| = 12

Üçgenin yüksekliği ise:
T_f noktasının y=1 doğrusu üzerindeki mesafesi sıfır olduğu için, bu üçgenin yüksekliği yoktur ve alanı sıfırdır ***=<? note answer
Merhaba! Daha az problem tekrar

3

f(x) = x² - 4x + 5 parabolünün x yönünde 4 br sağa ötelenmesi ve x eksenine göre simetrisiyle oluşan üçgenin alanı nasıl bulunur?

Cevap:

Aşağıdaki adımlarla parabolün dönüşümlerini inceleyip, f(x), g(x) ve h(x) parabolerinin tepe noktalarından oluşan üçgenin alanını bulabiliriz:

1. Orijinal Parabol f(x)

  1. Denklem:
    $$f(x) = x^2 - 4x + 5$$

  2. Tepe Noktası (Tepe noktası formülü: x_{\text{tepe}} = -\frac{b}{2a}):

    • a = 1, b = -4
    • x_{\text{tepe}} = -\frac{-4}{2\cdot 1} = 2
    • y_{\text{tepe}} = f(2) = 2^2 - 4\cdot 2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1
    • Tepe noktası: (2, 1)

2. g(x) = f(x - 4) İle 4 Birim Sağa Öteleme

  1. Yeni Denklem:
    $$g(x) = f(x-4) = (x - 4)^2 - 4(x - 4) + 5$$
    Ayrıntılı açılım:
    [
    (x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16,\quad
    -4(x - 4) = -4x + 16,\quad
    +5 \text{ eklenince,}
    ]
    [
    g(x) = x^2 - 8x + 16 - 4x + 16 + 5 = x^2 - 12x + 37.
    ]

  2. Tepe Noktası (yine -\frac{b}{2a}):

    • a = 1, b = -12
    • x_{\text{tepe}} = -\frac{-12}{2\cdot 1} = 6
    • y_{\text{tepe}} = g(6) = 6^2 - 12\cdot 6 + 37 = 36 - 72 + 37 = 1
    • Tepe noktası: (6, 1)

3. h(x) = -g(x) İle x-Eksenine Göre Simetri

x-ekseni etrafında yansıma (simetri) almak demek, y \to -y dönüşümü uygulamaktır. Dolayısıyla h(x) = -g(x) bulunur:

  1. Yeni Denklem:
    $$h(x) = -,\bigl(x^2 - 12x + 37\bigr) = -x^2 + 12x - 37.$$

  2. Tepe Noktası:

    • a = -1, b = 12
    • x_{\text{tepe}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2(-1)} = 6
    • y_{\text{tepe}} = h(6) = -(6^2) + 12 \cdot 6 - 37 = -36 + 72 - 37 = -1
    • Tepe noktası: (6, -1)

4. Elde Edilen Tepe Noktalarının Üçgeninin Alanı

f, g ve h parabolerinin tepe noktalarını şu şekilde etiketleyelim:

  • A = (2,\ 1) (f(x) parabolünün tepe noktası)
  • B = (6,\ 1) (g(x) parabolünün tepe noktası)
  • C = (6,\ -1) (h(x) parabolünün tepe noktası)

Bu noktalarla oluşan üçgenin alanını bulmak için önce kenar uzunluklarını inceleyelim:

  1. AB kenarı (yatay doğrultuda):

    • Noktalar: (2,1) ve (6,1)
    • Uzunluk: 6 - 2 = 4

  2. BC kenarı (dikey doğrultuda):

    • Noktalar: (6,1) ve (6,-1)
    • Uzunluk: 1 - (-1) = 2

  3. AC kenarı (eğimli kenar, gerekirse \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} ile):

    • Fakat alan hesabı için dik kenarlar AB ve BC zaten yeterlidir.

Üçgenin taban uzunluğunu 4, yüksekliğini 2 olarak alarak alan:

\text{Alan} = \frac{1}{2} \times (\text{Taban}) \times (\text{Yükseklik}) = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4.

Özet Tablosu

Paraböl Fonksiyon Tepe Noktası
f(x) x^2 - 4x + 5 (2, 1)
g(x) x^2 - 12x + 37 (6, 1)
h(x) -x^2 + 12x - 37 (6, -1)
Üçgen Kenarları Uç Noktalar Uzunluk Hesabı Uzunluk
AB (2,1)-(6,1) 6 - 2 4
BC (6,1)-(6,-1) 1 - (-1) 2
AC (Gerekmez) (2,1)-(6,-1) \sqrt{(6-2)^2 + (-1-1)^2} \sqrt{16 + 4}=\sqrt{20}

Sonuç:

  • f(x), g(x) ve h(x) parabolerinin tepe noktaları A(2,1), B(6,1) ve C(6,-1) noktalarıdır.
  • Bu üç noktadan oluşan üçgen dik üçgen olup alanı 4 bulunur.

@Samet_Gunay