Matematik parabol ödev cozumu

YKS TYT
,
1

20250217_211722
20250217_2117223000×4000 567 KB

2

f: R → R, f(x) = -4x² + 12x - 9 fonksiyonunun

Soruda, verilen parabolik fonksiyonun eksenleri kestiği noktalar ve tepe noktasının bulunması isteniyor.

a) Eksenleri kestiği noktaları bulunuz

Parabolün kesinlikle iki ekseni kestiği noktalar vardır: x-eksenini kestiği noktalar (kökler) ve y-eksenini kestiği nokta.

1. x-eksenini kestiği noktalar (kökler)

Bu noktaları bulmak için, f(x) = 0 denklemi çözülmelidir:

-4x^2 + 12x - 9 = 0

Bu tip ikinci derece bir denklemi çözmek için tam kareyi tamamlayabiliriz veya direkt ikinci derece denklemin köklerini bulmak için delta (\Delta) kullanabiliriz:

ararak, \Delta değerini hesaplayalım:

  • a = -4, b = 12, c = -9
\Delta = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \times (-4) \times (-9) = 144 - 144 = 0

Burada \Delta = 0 olduğu için bu parabol x-eksenine tek bir noktada teğet geçer (çakışık kök).

Kökleri bulmak için:

x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{0}}{2 \times (-4)}

Bu, x = \frac{-12}{-8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} noktasında değeri verir.

Yani, parabol x-eksenini sadece x = \frac{3}{2} noktasında keser.

2. y-eksenini kestiği nokta

Bu nokta x = 0 için f(0)'dır:

f(0) = -4(0)^2 + 12(0) - 9 = -9

Yani, parabol y-eksenini (0, -9) noktasında keser.

b) Tepe noktasını ve simetri eksenini bulunuz

Bir parabolün tepe noktası, x = -\frac{b}{2a} formülüyle bulunur.

  • a = -4, b = 12
x_{\text{tepe}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \times -4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}

Tepe noktasının y değeri, bu x değerini fonksiyonda yerine koyarak bulunur:

f\left(\frac{3}{2}\right) = -4\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 12\left(\frac{3}{2}\right) - 9
= -4 \times \frac{9}{4} + 18 - 9
= -9 + 18 - 9 = 0

Yani, tepe noktası \left(\frac{3}{2}, 0\right) dır.

Simetri ekseni tepe noktasının x değeri, yani x = \frac{3}{2} dir.

@irmak2525