Parabol Sorusu ve Tepe Noktasının Bulunması
Soru:
( m ) bir gerçek sayı olmak üzere,
[ f(x) = 3(x - m)^2 + 2 ]
[ g(x) = -(x + 3)^2 - m ]
parabollerinin tepe noktaları arasındaki uzaklık 5 birimdir. Buna göre, ( m )'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Tepe Noktalarının Belirlenmesi
Bir parabolün ( y = a(x - h)^2 + k ) şeklinde yazılması durumunda, tepe noktası ( (h, k) )'dır.
- ( f(x) ) Parabolü:
[ f(x) = 3(x - m)^2 + 2 ]
Burada ( h = m ) ve ( k = 2 )'dır. Yani, ( f(x) ) parabolünün tepe noktası:
[ (m, 2) ]
- ( g(x) ) Parabolü:
[ g(x) = -(x + 3)^2 - m ]
Burada ( h = -3 ) ve ( k = -m )'dir. Yani, ( g(x) ) parabolünün tepe noktası:
[ (-3, -m) ]
Tepe Noktaları Arasındaki Uzaklığın Bulunması
Tepe noktaları arasındaki uzaklık formülü:
[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]
Bu durumda:
[ (m, 2) \text{ ve } (-3, -m) ]
[ d = \sqrt{(-3 - m)^2 + (-m - 2)^2} ]
Uzaklık 5 birim olduğuna göre:
[ \sqrt{(-3 - m)^2 + (-m - 2)^2} = 5 ]
[ (-3 - m)^2 + (-m - 2)^2 = 25 ]
Denklemlerin Çözülmesi
-
Adım:
[ (-3 - m)^2 = m^2 + 6m + 9 ] -
Adım:
[ (-m - 2)^2 = m^2 + 4m + 4 ]
Toplamı:
[ m^2 + 6m + 9 + m^2 + 4m + 4 = 25 ]
[ 2m^2 + 10m + 13 = 25 ]
[ 2m^2 + 10m - 12 = 0 ]
[ m^2 + 5m - 6 = 0 ]
Bu ikinci dereceden denklemi çözmek için:
[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
Burada:
[ a = 1, b = 5, c = -6 ]
[ m = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} ]
[ m = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2} ]
[ m = \frac{-5 \pm 7}{2} ]
Çözümler:
[ m_1 = \frac{-5 + 7}{2} = 1 ]
[ m_2 = \frac{-5 - 7}{2} = -6 ]
Sonuç
( m )'nin alabileceği değerler ( 1 ) ve ( -6 )'dır. Bu değerlerin toplamı:
[ 1 + (-6) = -5 ]
Final Cevap:
[ \boxed{-5} ]