Soruların Çözümleri:
1. Sorunun Çözümü:
$$f(x) = (m - 2)x^3 - 2x^n+6 + x + m + 2$$
Analitik düzlemde parabol belirttiğine göre n = 2 (çünkü paraboller x^2 teriminden oluşur). Fonksiyonu sadeleştirip, f(2) değerini bulalım:
-
Fonksiyon şu şekilde sadeleşir:
$$f(x) = (m - 2)x^3 - 2x^2 + x + m + 2$$ -
f(2) Hesabı:
$$f(2) = (m - 2)(2)^3 - 2(2)^2 + 2 + m + 2$$
$$f(2) = (m - 2)(8) - 2(4) + 2 + m + 2$$
$$f(2) = 8m - 16 - 8 + m + 4$$
$$f(2) = 9m - 20$$
Sonuç: f(2) = 9m - 20
2. Sorunun Çözümü:
$$y = x^2 - mx + 5$$ ve A(1, 3) noktası, bu parabol üzerinde yer aldığına göre x = 1 ve y = 3 eşitliklerini kullanarak m değerini bulalım:
- y değerini yerine koyuyoruz:
$$3 = (1)^2 - m(1) + 5$$
$$3 = 1 - m + 5$$
$$3 = 6 - m$$
$$m = 6 - 3$$
$$m = 3$$
Sonuç: m = 3
3. Sorunun Çözümü (Grafik Çizimi):
$$f(x) = x^2 - 4x - 12$$
Bu bir parabol denklemi olduğundan, tepe noktasını (x_{tepe}) ve köklerini (x_1 ve x_2) bulalım:
a. Tepe Noktası:
Tepe noktası formülü:
$$x_{tepe} = \frac{-b}{2a}$$
Burada a = 1, b = -4, c = -12:
$$x_{tepe} = \frac{-(-4)}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2$$
y_{tepe}'yi bulmak için x_{tepe}'yi fonksiyonda yerine koyarız:
$$y_{tepe} = (2)^2 - 4(2) - 12 = 4 - 8 - 12 = -16$$
Tepe noktası: (2, -16)
b. Kökler:
Kökler için, diskriminantı kullanarak çözüm yapalım:
$$\Delta = b^2 - 4ac$$
$$\Delta = (-4)^2 - 4(1)(-12) = 16 + 48 = 64$$
Kökler:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$
$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2(1)}$$
$$x = \frac{4 \pm 8}{2}$$
- Kök: x_1 = \frac{4 + 8}{2} = 6
- Kök: x_2 = \frac{4 - 8}{2} = -2
Sonuç (Grafik):
- Parabol yukarı dönüktür (a = 1 > 0).
- Tepe noktası: (2, -16)
- Kökler: x_1 = 6, x_2 = -2
4. Sorunun Çözümü:
$$y = x^2 - 2x + m - 1$$
Bu parabölün farklı iki noktada x eksenini kesmesi için diskriminant sıfırdan büyük olmalıdır:
a. Diskriminant Hesabı:
$$\Delta = b^2 - 4ac$$
Burada a = 1, b = -2, c = m - 1:
$$\Delta = (-2)^2 - 4(1)(m - 1)$$
$$\Delta = 4 - 4(m - 1)$$
$$\Delta = 4 - 4m + 4$$
$$\Delta = 8 - 4m$$
b. \Delta > 0 Şartını Çözelim:
$$8 - 4m > 0$$
$$8 > 4m$$
$$m < 2$$
m'nin alabileceği en büyük tam değer: 1
Sonuçlar:
- f(2) = 9m - 20
- m = 3
- Grafik: Tepe noktası (2, -16), Kökler: x_1 = 6, x_2 = -2
- m en büyük tam değeri: 1
Eğer seçilen soruyu daha ayrıntılı görmek isterseniz, lütfen söyleyin! 
@username
1. Soru
f(x) = (m−2)x³ − 2x^(n+6) + x + m + 2 fonksiyonunun grafiği analitik düzlemde bir paraboldür. Buna göre f(2) kaçtır?
Cevap:
Bir parabol (ikinci dereceden polinom) elde edebilmek için, 3. derece ve üzeri terimlerin sıfırlanması veya hiç olmaması gerekir. Burada:
- (m−2)x³ teriminin yok olması için (m−2) = 0 ⇒ m = 2.
- −2x^(n+6) teriminin ikinci dereceden kalabilmesi için x^(n+6) ifadesinin x²’ye eşit olması gerekir ⇒ n + 6 = 2 ⇒ n = −4.
Bu değerlerle ifade sadeleşir:
f(x) = (2−2)x³ − 2x² + x + (2) + 2 = −2x² + x + 4
Artık f(2) değerini hesaplayalım:
f(2) = −2·(2²) + 2 + 4 = −2·4 + 2 + 4 = −8 + 6 = −2.
2. Soru
A(1, 3) noktası y = x² − mx + 5 parabolünün üzerinde olduğuna göre m kaçtır?
Cevap:
Parabolde (x, y) = (1, 3) noktası sağlanmalıdır:
3 = (1)² − m·(1) + 5
3 = 1 − m + 5
3 = 6 − m
m = 6 − 3 = 3.
3. Soru
f(x) = x² − 4x − 12 parabolünün grafiğini çiziniz.
Cevap:
-
Tepe Noktası (Tepe Değeri)
- a = 1, b = −4, c = −12.
- Tepe noktası x = −b / (2a) = 4 / 2 = 2.
- Tepe noktası y değeri: f(2) = 2² − 4·2 − 12 = 4 − 8 − 12 = −16.
- Tepe noktası (2, −16).
-
Kökler (x−eksenini kesişim)
x² − 4x − 12 = 0 denklemini çözelim:
x = [4 ± √(16 + 48)] / 2 = [4 ± √64] / 2 = [4 ± 8] / 2- Kökler: x₁ = (4 + 8)/2 = 6 ve x₂ = (4 − 8)/2 = −2
Bu parabole ait temel bilgiler:
- Tepe noktası: (2, −16)
- x−kesişimleri: x = 6 ve x = −2
- y−eksenini kestiği nokta: f(0) = −12
4. Soru
y = x² − 2x + m − 1 parabolü x eksenini farklı iki noktada kestiğine göre, m’nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Cevap:
Bir parabolün x eksenini iki farklı noktada kesmesi için ayrım (diskriminant) > 0 olmalıdır.
- a = 1, b = −2, c = (m − 1).
- Diskriminant: Δ = b² − 4ac = (−2)² − 4·1·(m−1) = 4 − 4(m−1) = 4 − 4m + 4 = 8 − 4m.
İki farklı kesişim ⇒ 8 − 4m > 0 ⇒ 8 > 4m ⇒ 2 > m ⇒ m < 2.
m bir tam sayı olduğuna göre, m’nin alabileceği en büyük tam sayı 1’dir.
Özeti Gösteren Tablo
| Soru | İşlem / Denklem | Temel Koşul | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 1 | f(x) = (m−2)x³ − 2x^(n+6) + x + m + 2 | Parabola için m=2, n=−4 → f(2)=? | f(2)=−2 |
| 2 | y = x² − mx + 5, A(1,3) üzerinde | 3 = 1 − m + 5 | m=3 |
| 3 | f(x) = x² − 4x − 12 | Tepe noktası ve köklerin bulunması | Tepe(2,−16), kökler(6, −2) |
| 4 | y = x² − 2x + (m−1) | Δ > 0 ⇒ 8 − 4m > 0 ⇒ m < 2 | m’nin max. tam değeri=1 |
Kısa Özet:
- (m−2)x³ ve −2x^(n+6) terimleri ikinci derece kalacak biçimde yok olunca f(2) = −2 bulunur.
- Noktanın parabolda olması, denklem çözümüyle m=3 değerini verir.
- Parabolün tepe noktası (2, −16), kökleri −2 ve 6 olarak çizilir.
- Parabolün ikili kesişimi için diskriminant pozitif olmalı; buradan m < 2 bulunur, en büyük tam sayı 1’dir.