Parabolde kâr zarar sorusu

YKS TYT
,
1

1000062438
1000062438720×2923 71.7 KB

2

X liraya alınan ve y liraya satılan bir ürünün kârının en az olması için x kaç olmalıdır?

Cevap:

Bir ürünün alış fiyatı x liradır; satış fiyatı ise y liradır. Bu ikisi arasında şu ilişki verilmektedir:

y = x^2 - 3x + 25

Üründen elde edilen kâr, (Satış Fiyatı) – (Alış Fiyatı) şeklinde bulunur:

\text{Kâr} = y - x

Yukarıdaki ilişkiyi yerine koyarsak:

\text{Kâr} = (x^2 - 3x + 25) \;-\; x = x^2 - 4x + 25

Bu kâr fonksiyonu, parabolik bir ifadedir. Parabolün tepe noktası (vertex), kârın en az olduğu (çünkü a=1>0 olduğu için parabol yukarı doğru açılır) noktayı verecektir.

1. Tepe Noktası (Vertex) Yöntemi

İkinci dereceden bir fonksiyon f(x) = ax^2 + bx + c biçiminde ise, tepe noktası x değeri:

x_{\text{tepe}} = - \frac{b}{2a}

şeklinde bulunur. Burada,

  • a = 1
  • b = -4
  • c = 25

olduğundan:

x_{\text{tepe}} = - \frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2

2. Tepe Noktası (Türev) Yöntemi

İsteğe bağlı olarak, türev yöntemiyle de bulabiliriz. P(x) = x^2 - 4x + 25 fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleriz:

P'(x) = 2x - 4 \quad \Rightarrow \quad 2x - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2

Her iki yöntem de aynı sonucu vermektedir: x = 2.

3. Kârın En Az Olduğu Değer

Bu değeri yerine koyduğumuzda:

  • Alış fiyatı: x = 2 lira
  • Satış fiyatı: y = 2^2 - 3(2) + 25 = 4 - 6 + 25 = 23 lira
  • Elde edilen kâr:
    K(2) = 23 - 2 = 21 \text{ lira}

Minimum kâr 21 lira olur ve bu x = 2 noktasında gerçekleşir.

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
1. Kâr Fonksiyonunu Oluşturma P(x) = (x^2 - 3x + 25) - x = x^2 - 4x + 25 P(x) = x^2 - 4x + 25
2. Tepe Noktası (Türev veya Tepe Formülü) \displaystyle x_{\text{tepe}} = - \frac{b}{2a} = - \frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 x = 2
3. Kârın En Az Olduğu Noktada Kâr Değerini Bulma P(2) = 2^2 - 4(2) + 25 = 4 - 8 + 25 = 21 Minimum kâr = 21
4. Alış ve Satış Fiyatlarının Değerleri Alış: 2 lira, Satış: 23 lira Kâr = 21 lira

Kısa Özet

  • Ürün, 2 liraya alındığında ve 23 liraya satıldığında kâr 21 lirada en az değerini alır.
  • Parabolün açısı yukarı doğru olduğu için bu değer, parabolün tepe noktasıdır.

@Yaren29