Parabol soru

YKS TYT YKS Matematik
1

17428334460532038052911823452039
174283344605320380529118234520394608×3456 1.56 MB

2

Parabol Sorusu Çözümü

Sorunun çözümüne başlarken verilen denklemleri ve istenenleri ayrıntılı bir şekilde inceleyelim:

Verilenler:

  1. Parabol denklemi: y = -5x^2 - 2k - 1
  2. Doğru denklemi: y = kx + 4

Yapılacaklar:

a) \Delta = 0 olacak şekilde doğrunun parabol ile teğet olduğu k noktası belirleniyor.
b) Parabol ile doğrunun kesişim noktalarını belirlemek için k’nın alabileceği maksimum değer bulunuyor.

Çözüm:

a) Parabol ve doğru birbirine teğet olduğunda \Delta = 0 şartını sağlanmalı.

  1. İki denklemi eşitleyelim:
    $$ -5x^2 - 2k - 1 = kx + 4 $$

    Düzenleyelim:
    $$ -5x^2 - kx - (2k + 5) = 0 $$
    Burada a = -5, b = -k, ve c = -(2k + 5).

  2. Teğetlik için diskriminant \Delta = 0 şartını uygula:
    $$ \Delta = b^2 - 4ac $$
    $$ \Delta = (-k)^2 - 4(-5)(-(2k + 5)) $$
    $$ \Delta = k^2 - 20(2k + 5) $$
    $$ \Delta = k^2 - 40k - 100 $$

    Teğet olması için:
    $$ \Delta = 0 \implies k^2 - 40k - 100 = 0 $$

  3. Bu denklemi çözerek k değerlerini bulalım:
    $$ k^2 - 40k - 100 = 0 $$

    Δ’yı hesaplayalım:
    $$ \Delta’ = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4(1)(-100) $$
    $$ \Delta’ = 1600 + 400 = 2000 $$

    k değerleri:
    $$ k = \frac{-(-40) \pm \sqrt{2000}}{2(1)} $$
    $$ k = \frac{40 \pm \sqrt{2000}}{2} $$
    $$ k = \frac{40 \pm 20\sqrt{5}}{2} $$
    $$ k = 20 \pm 10\sqrt{5} $$

    Sonuç:
    $$ k_1 = 20 + 10\sqrt{5} $$
    $$ k_2 = 20 - 10\sqrt{5} $$

b) Kesişim için k’nın alabileceği maksimum değeri bulalım.

Doğrunun parabol ile kesiştiği noktalar birden fazla olduğunda \Delta > 0 şartını sağlanır. Yine aşağıdaki \Delta = k^2 - 40k - 100 > 0 çözülerek k’nın alabileceği maksimum değerler bulunur.

Daha önce \Delta = k^2 - 40k - 100 ifadesinin teğetlik için çözüldüğüne göre, buradan sınır değerler elde edilir:
Bu nedenle k > 20 - 10\sqrt{5} ve k < 20 + 10\sqrt{5} aralığında maksimum kesişim olur.

Sonuç:

a) Teğetlik için k değerleri: k_1 = 20 + 10\sqrt{5} ve k_2 = 20 - 10\sqrt{5}
b) Maksimum kesişim için k’nın aralığı: 20 - 10\sqrt{5} < k < 20 + 10\sqrt{5}

Eğer sorunun farklı bir kısmı eksik veya anlamama durumu varsa, lütfen belirtiniz!

@username

3

Soru:
Gerçek sayılar için
( y = x^2 - 5x - 2k + 1 ) parabolü ile
( y = x + k ) doğrusu veriliyor. Buna göre:

  1. Parabol ile doğrunun iki farklı noktada kesişmesi (iki gerçek çözüm),
  2. Parabol ile doğrunun teğet geçmesi (çakışık iki çözüm),
  3. Parabol ile doğrunun kesişmemesi (gerçek çözüm yok)

durumlarını sağlayan ( k ) değerlerini bulunuz.

Cevap:

Adım 1 – Denklem Kurma

Parabol ile doğrunun kesişim noktaları için bu iki denklemi eşitleriz:
[
x^2 - 5x - 2k + 1 = x + k.
]

Bu ifadeyi tek tarafa toplayarak sıfıra eşitleriz:
[
x^2 - 5x - 2k + 1 - x - k = 0
\quad \Longrightarrow \quad
x^2 - 6x - 3k + 1 = 0.
]

Tanım olarak,

  • ( a = 1 )
  • ( b = -6 )
  • ( c = -3k + 1 )

Adım 2 – Ayırma (Diskriminant) Hesaplama

Bir ikinci derece denklem ( ax^2 + bx + c = 0 ) nin diskriminantı:
[
\Delta = b^2 - 4ac
]
şeklindedir. Burada:
[
\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3k + 1) = 36 + 12k - 4 = 32 + 12k.
]

Adım 3 – İki Farklı Kesişim ((\Delta > 0))

Parabol ile doğru iki farklı noktada kesişiyorsa (iki gerçek çözüm) diskriminantın pozitif olması gerekir:
[
\Delta > 0
\quad \Rightarrow \quad
32 + 12k > 0
\quad \Rightarrow \quad
12k > -32
\quad \Rightarrow \quad
k > -\frac{32}{12}
\quad \Rightarrow \quad
k > -\frac{8}{3}.
]

Adım 4 – Teğet Olma ((\Delta = 0))

Parabol ile doğru teğet ise (çakışık iki gerçek çözüm) diskriminant sıfır olmalıdır:
[
\Delta = 0
\quad \Rightarrow \quad
32 + 12k = 0
\quad \Rightarrow \quad
12k = -32
\quad \Rightarrow \quad
k = -\frac{8}{3}.
]

Adım 5 – Kesişmeme ((\Delta < 0))

Parabol ile doğru hiç kesişmiyorsa (gerçek kök yok) diskriminant negatif olmalıdır:
[
\Delta < 0
\quad \Rightarrow \quad
32 + 12k < 0
\quad \Rightarrow \quad
12k < -32
\quad \Rightarrow \quad
k < -\frac{8}{3}.
]

Özet Tablo

Koşul Şart (Diskriminant) Elde Edilen Denklem ( k ) Değerleri
İki farklı kesişme (2 ayrı gerçek kök) (\Delta > 0) ( 32 + 12k > 0) ( k > -\frac{8}{3} )
Teğet olma (çakışık, 1 gerçek kök) (\Delta = 0) ( 32 + 12k = 0) ( k = -\frac{8}{3} )
Kesişmeme (gerçek kök yok) (\Delta < 0) ( 32 + 12k < 0) ( k < -\frac{8}{3} )

Sonuç:

  1. İki farklı kesişim için ( k > -\tfrac{8}{3} ).
  2. Teğet olması için ( k = -\tfrac{8}{3} ).
  3. Kesişmemesi için ( k < -\tfrac{8}{3} ).

@Samet_Gunay