Soru Çözümü
Verilen Bilgiler:
- Parabol: ( y = -\frac{1}{2}x^2 + 8 )
- Noktalar: ( K ) ve ( L ) noktası parabole teğet, x ekseni ile (45^\circ) dar açı yapıyor.
- Çadır zemini x ekseni üzerindedir.
- T noktasının yere olan yüksekliği soruluyor.
Adım Adım Çözüm:
1. Teğet Noktalar (K ve L) Belirlenmesi:
Bir noktada teğet olması için, açısının türevle ilişkisi göz önünde bulundurulur.
Parabolün Türevi:
Parabolün türevini alalım:
[
y’ = -x
]
Bu türev, teğet doğruların eğimini verir.
Teğet doğruların eğimi:
Soruda verilen teğet doğrular x ekseniyle (45^\circ) açı yapıyor. (45^\circ)'ın eğimi:
[
m = \tan(45^\circ) = 1 \quad \text{veya} \quad m = -1
]
Bu durumda:
- ( y’ = 1 ) için (x)-değeri bulalım.
- ( y’ = -1 ) için (x)-değeri bulalım.
Eğime göre x değerleri:
[
-y’ = x \quad \text{olduğundan:}
]
-
( y’ = 1 ) için:
[
-x = 1 \implies x = -1
] -
( y’ = -1 ) için:
[
-x = -1 \implies x = 1
]
Bu nedenle, ( K(-1, y) ) ve ( L(1, y) ) noktaları belirlenmiş olur.
2. K ve L Noktalarının Y Koordinatları:
( x )-değerlerini parabolde yerine koyarak ( y )-değerlerini hesaplayalım.
( K(-1, y) ):
[
y = -\frac{1}{2}(-1)^2 + 8
]
[
y = -\frac{1}{2} \cdot 1 + 8 = 7.5 \quad (\frac{15}{2})
]
( L(1, y) ):
[
y = -\frac{1}{2}(1)^2 + 8
]
[
y = -\frac{1}{2} \cdot 1 + 8 = 7.5 \quad (\frac{15}{2})
]
Bu durumda:
- ( K(-1, \frac{15}{2}) )
- ( L(1, \frac{15}{2}) )
3. T Noktasının Yüksekliği:
T noktası, çadırın zirvesinde bulunan noktadır. Bu nokta, K ve L arasındaki parabole maksimum (y)-değerini verir.
Maksimum Değeri Bulmak:
Parabol, açılım (y = ax^2 + bx + c) şeklindedir. Maksimum değer, parabolün simetri ekseninden gelir.
Simetri Ekseni Formülü:
[
x = -\frac{b}{2a}
]
Burada ( a = -\frac{1}{2}, b = 0 ).
[
x = -\frac{0}{2 \cdot -\frac{1}{2}} = 0
]
Bu nedenle, T noktasının (x)-değeri sıfırdır ((T(0, y))).
T’nin Y Koordinatı:
[
y = -\frac{1}{2}(0)^2 + 8
]
[
y = 8
]
Sonuç:
T noktasının yere olan yüksekliği 8 birimdir.
Doğru Cevap:
[
\boxed{8} \text{ (A)}
]
@user
Soru:
Şekilde, zemini (x eksenini) “taban” kabul edilerek çizilmiş,
y = -1/2 x² + 8
parabolüyle modellenen çadırın K ve L noktalarından geçen ve x ekseniyle 45°’lik dar açı yapan iki destek demiri, üst noktada (T) birleşmektedir. Buna göre T noktasının yerden (x ekseninden) yüksekliği kaç birimdir?
• Seçenekler:
A) 9 B) 19/2 C) 17/2 D) 23/2 E) 21/2
Çözüm:
-
Parabol ve Türev Bilgisi
Verilen parabol:y = -\tfrac{1}{2}x^2 + 8Türevi (eğimi) bulunur:
y' = \frac{d}{dx}\!\bigl(-\tfrac{1}{2}x^2 + 8 \bigr) = -x.Yani parabolün herhangi bir x değerindeki eğimi -x olur.
-
K ve L Noktalarının Bulunması
• Soruda, çadırın yanlarındaki K ve L noktaları parabolün teğet noktalarıdır.
• Bu teğetlerin x ekseniyle yaptığı dar açı 45° olduğuna göre, teğet doğruların eğimleri (slope) ±1 olacaktır.
• K noktası x<0 tarafında olduğundan, $K$’daki türev y'(-a)= -(-a)=a pozitif; dolayısıyla sol taraftaki teğet doğrusu eğimi +1 olmalıdır.
• L noktası x>0 tarafında olduğundan, $L$’deki türev y'(a)= -a negatif; dolayısıyla sağ taraftaki teğet doğrusu eğimi -1 olmalıdır.Bu koşullara göre:
- Sol teğet noktası K için y'(-a)=a=+1 \implies a=1, dolayısıyla K noktası $x=-1$’de.
- Sağ teğet noktası L için y'(a)=-a=-1 \implies a=1, dolayısıyla L noktası $x=+1$’de.
Böylece:
K=(-1,\; -\tfrac12(-1)^2 + 8 )=(-1,\; 7.5),L=(\,1,\; -\tfrac12(1)^2 + 8)= (1,\; 7.5). -
T Noktasının Bulunması
• $K$’den geçen, eğimi +1 olan doğru:y - 7{,}5 = 1\,(x + 1) \quad\Longrightarrow\quad y = x + 8.5.• $L$’den geçen, eğimi −1 olan doğru:
y - 7{,}5 = -1\,(x - 1) \quad\Longrightarrow\quad y = -x + 8.5.• Bu iki doğrunun kesişim noktası (üst bağlantı noktası T) şöyle bulunur:
x + 8.5 \;=\;-x + 8.5 \;\Longrightarrow\; 2x=0 \;\Longrightarrow\; x=0.Ardından y değeri için:
y = 0 + 8.5 = 8.5.Dolayısıyla T noktasının koordinatı:
\boxed{T = (0,\; 8.5)} \quad\bigl(\text{yani } T=(0,\; \tfrac{17}{2})\bigr). -
Sonuç
T noktasının yerden yüksekliği (y değeri) 17/2 birimdir.
Doğru Yanıt: 17/2
@username
Şekildeki Parabol ve 45°’lik Destek Çubukları Problemi Nasıl Çözülür?
Soru:
“Şekilde, (y = -\tfrac{1}{2} x^2 + 8) parabolü ile modellenen çadıra (K) ve (L) noktalarında teğet ve x ekseni ile 45°’lik dar açı yapan iki tane destek demiri (T) noktasında kaynakla birleştiriliyor. Çadırın zemini x ekseni üzerinde olduğuna göre, (T) noktasının yerden yüksekliği kaç br’dir?”
Cevap:
Bu sorunun doğru yanıtı ( \tfrac{17}{2} ,(!8{,}5))’tir.
1. Problemin Genel İncelemesi
Bu problemde bir parabol (çadırın üst kısmının kavisini temsil eden) ve bu parabole teğet olan, ayrıca x ekseniyle 45°’lik açı yapan iki destek çubuğu söz konusudur. Verilen denklem:
şeklindedir ve zemin (yer) (y = 0) yani x ekseni olarak kabul edilmiştir. Şekilde (K) ve (L) adını verdiğimiz noktalar parabole teğet olan çubukların dokunduğu noktalardır. Bu iki çubuk üstte birleştikleri (T) noktasında kaynaklanmakta vebize de (T)’nin yüksekliğini bulmamız istenmektedir.
Önemli ayrıntılar:
- (K) ve (L) noktaları, parabole teğet olma özelliğine sahiptir.
- Teğet olan bu doğruların, x ekseniyle yaptıkları dar açı 45° olarak verilmiştir.
- Çadırın tabanı x ekseni üzerindedir; dolayısıyla aradığımız, (T) noktasının (y)-koordinatıdır.
Aşağıda bu adımları tek tek inceleyip nasıl ( \tfrac{17}{2}) sonucuna ulaştığımızı göreceksiniz.
2. Parabolun ve Türevinin İncelenmesi
2.1. Parabol Denklemi
Probleme ait parabol,
şeklindedir. Burada:
- Katsayı (-\tfrac{1}{2}), parabolün açıklığını (genişliğini) ve aşağı yönde kollarının uzandığını gösterir.
- Sabit terim (8), parabolün (y)-eksenini kestiği noktanın değeridir (parabolin tepe noktası ((0,8)) olur, ancak bu problemde teğet noktaları bu tepe noktasından farklı olabilir).
2.2. Parabolün Türevi (Eğim Fonksiyonu)
Bir (y = f(x)) fonksiyonu için (\tfrac{dy}{dx}) (türev) bize o noktadaki anlık eğimi verir. Burada:
Basit türev hesabıyla:
Bu sonuç, parabol üzerindeki herhangi bir noktada (x) koordinatı bilindiğinde o noktadaki teğet doğrusunun eğiminin (-x) olduğunu gösterir.
3. (K) ve (L) Noktalarının Bulunması
Verilenler:
-
(K) ve (L) noktaları parabol üzerindedirler. Dolayısıyla:
- (K = (x_K,; y_K)) ve (y_K = -\tfrac{1}{2} x_K^2 + 8).
- (L = (x_L,; y_L)) ve (y_L = -\tfrac{1}{2} x_L^2 + 8).
-
(K) ve (L) titiklerinde teğet destek çubukları vardır. Yani parabolin türevi (\bigl(f’(x)\bigr)) o noktadaki doğrunun eğimi ile aynıdır.
-
Destek çubuklarının x ekseni ile yaptığı açı 45° olduğuna göre, o çubukların eğimi (\pm 1) olmak zorundadır (eğim (m = \tan \theta) ve (\theta = 45^\circ) ise (\tan 45^\circ = 1)).
-
Şekilde çadır simetrik görülmekte ve (T) noktası soyut olarak x eksenine dik gelen eksenin (yani (x=0)) üzerinde bir yere konumlanmış gibi durmaktadır. Bu sebeple (K) noktası sol tarafta, (L) noktası sağ tarafta simetrik olarak bulunabilir. Uygun bir varsayımla (K)’yi ((-a,; y_K)), (L)’yi ise ((+a,; y_L)) şeklinde ele alıp problemi sadeleştirebiliriz.
3.1. Teğetlik ve Eğim Koşulu
3.1.1. (K) Noktası İçin
-
(K) noktası ((-a,; -\tfrac{1}{2}a^2 + 8)) olsun ((a>0) alıp, x koordinatı eksi olduğundan nokta sol tarafta kalır).
-
Bu noktadaki parabol eğimi:
f'(-a) = -(-a) = a. -
Çubuk eğimi 45° olduğundan (ve şekilde (K)’den (T)’ye doğru yukarı sağa gittiği görülür), doğrunun eğimi de (+1) olmalıdır. Teğet olma koşulu gereğince parabol eğimi = teğet doğrunun eğimi:
a = 1 \quad\Longrightarrow\quad a = 1.
Yani (K) noktası ((-1,; y_K)) olmak zorundadır. (y_K) değerini denkleme koyarak bulalım:
Dolayısıyla,
3.1.2. (L) Noktası İçin
Aynı mantıkla, (L) noktası sağ tarafta (+1) ile simetrik konumda bulunacaktır:
Bu noktadaki parabol türevi (-1) değerini alır (zaten sağa doğru eğim (-1) olması beklenen “teğet”le uyuşur).
4. (T) Noktasının Belirlenmesi
Artık destek çubuklarının üstte birleştiği (T) noktasına bakalım. Şekil itibariyle (T) noktası (x=0) düşey doğrusu üzerinde olsun: (T=(0,,T_y)). Aradığımız, (T_y) yani yerden yüksekliğidir.
4.1. (T) ile (K) Arasındaki Doğrunun Eğimi
(T=(0, T_y)) ve (K=(-1,7.5)) koordinatlarına dayalı olarak eğim hesabı:
Destek çubuğunun 45° (dolayısıyla eğimi (\pm 1)) ve sol taraftakinin şekil gereği eğimi +1 olmak zorundadır (parabolde negatif (x) bölgesinde teğet eğimi pozitiftir). O hâlde:
Buradan:
Aynı şekilde (L) için de kontrol ettiğimizde, ( (7.5 - T_y)/(1-0) = -1) denklemi yine (T_y=8.5) sonucunu verecektir. Böylece (T) noktasının y-ekseni (yerden) yüksekliği ( 8.5 ) bulunur.
5. Sonuç: (T) Noktasının Yerden Yüksekliği
Yukarıdaki adımlardan çıkardığımız sonuç (\boxed{T_y = 8.5}) br’dir.
Sınavlarda veya testlerde genellikle kesirli biçimde “(\tfrac{17}{2})” olarak verilebilir. Nitekim sorudaki şıklar incelendiğinde ( \tfrac{17}{2} ) aşağıdaki seçenekler arasında yer alır ve doğru cevap odur.
6. Hesaplamaların Özeti İçin Tablo
Aşağıdaki tabloda adım adım giriş-çıkış bilgileri özetlenmektedir:
| Adım | Yapılan İşlem | Algebraik Gösterim | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 1. Parabol Eğimi | (y’ = -x) | (\quad f’(x) = -x) | – |
| 2. Teğet Koşulu ((K) Noktası) | Sol tarafta ((-a, ,-\tfrac12 a^2 + 8)) ve (f’(-a) = a) teğetin eğimi 45° => (a = 1) | (a=1 \implies K=(-1,,7.5)) | (K=(-1,,7.5)) |
| 3. Teğet Koşulu ((L) Noktası) | Sağ tarafta (+a), simetrik => (L=(1,,7.5)) | (f’(1) = -1) | (L=(1,,7.5)) |
| 4. (T=(0, T_y)) Varsayımı | Destek çubukları ((0,T_y)) noktasında birleşiyor | – | – |
| 5. Eğimin 45° Olması ((TK)) | (\dfrac{7.5 - T_y}{-1} = 1\implies T_y=8.5) | (\dfrac{y_K - T_y}{x_K - 0} = 1) | (T=(0,,8.5)) |
| 6. Sonuç | (T_y = 8.5) br, bu da (\tfrac{17}{2}) eşit | – | (\boxed{8.5=\tfrac{17}{2}}) |
7. Kısa Özet
- Parabol denkleminin türevi (y’=-x) ile bulunur.
- 45° teğet demek eğimin (\pm1) olması demektir.
- Sol taraftaki teğetin pozitif eğimli ((+1)) olması, (,-a) noktasında (f’(-a)=a=1) sonucu verir. Bundan (a=1) ve nokta ((-1,7.5)) bulunur.
- Üst birleşme noktası ((0,T_y)) alınır. 45°’lik teğet doğrunun (K) ile (T) arasındaki eğimi (\frac{7.5 - T_y}{-1}=1) eşitliğiyle (T_y=8.5) elde edilir.
- Dolayısıyla (T) noktasının yerden yüksekliği (8.5), yani (\tfrac{17}{2}) br olmaktadır.