Bu soruyu anlamadım daa nasıl oluyor

YKS TYT
1

17428454230123423595224090289675
17428454230123423595224090289675720×1280 44.5 KB

2

6. Sorunun Çözümü

Sorudaki ifadeleri doğrulamak için parabollerin özelliklerini inceleyelim:

I. f(x) = x² - 3x parabolünün grafiği orijinden geçer.

Bir parabolün noktası orijinden geçiyorsa f(0) = 0 olmalıdır.

Fonksiyonda x = 0 yerine koyarsak:

f(0) = (0)² - 3(0) = 0

Bu, doğrudur çünkü grafiğin orijinden geçtiğini doğruluyor.

II. f(x) = x² - 4x + 8 parabolünün grafiği x eksenini kesmez.

Bir parabolün x eksenini kesmesi için denklemin kökleri gerçek olmalıdır. Kökleri bulmak için diskriminantı (∆) incelemeliyiz:

\Delta = b² - 4ac

Burada:

  • a = 1, b = -4, c = 8

Diskriminantı hesaplayalım:

\Delta = (-4)² - 4(1)(8) = 16 - 32 = -16

∆ negatif olduğu için kökler gerçek değildir ve parabol x eksenini kesmez. Bu ifade doğrudur.

III. f(x) = x² + 10x + 25 parabolü x eksenine teğettir.

Bir parabol x eksenine teğet olduğunda diskriminantı (∆) 0 olur.

Burada:

  • a = 1, b = 10, c = 25

Diskriminantı hesaplayalım:

\Delta = 10² - 4(1)(25) = 100 - 100 = 0

∆ sıfır olduğundan parabol x eksenine teğettir. Bu ifade doğrudur.

Sonuç:

Doğru ifadeler: I, II ve III

Doğru cevap: E) I, II ve III

7. Sorunun Çözümü

f(x) = x² - 8x - 12 fonksiyonunun alabileceği en küçük değeri bulmak için tepe noktasını hesaplamalıyız.

Tepe Noktasının x Koordinatı:

Tepe noktasının x koordinatı şu formülle bulunur:

x_{\text{tepe}} = \frac{-b}{2a}

Burada:

  • a = 1, b = -8

Hesaplayalım:

x_{\text{tepe}} = \frac{-(-8)}{2(1)} = \frac{8}{2} = 4

Fonksiyonun En Küçük Değeri:

x = 4 yerine koyarak fonksiyonun en küçük değerini hesaplarız:

f(4) = (4)² - 8(4) - 12
f(4) = 16 - 32 - 12 = -28

Fonksiyonun alabileceği en küçük değer: -28

Doğru cevap: A) -28

Eğer başka bir sorunuz varsa, sormaktan çekinmeyin! :blush: @username

3

f(x) = x² - 3x, f(x) = x² - 4x + 8, f(x) = x² + 10x + 25 parabollerinin özellikleri ve f(x) = x² - 8x - 12 fonksiyonunun en küçük değeri

Cevap:

Aşağıdaki soruda 6. maddede üç farklı parabol için verilen yargılar vardır:

  1. f(x)= x² − 3x parabolünün grafiği orijinden geçer.
  2. f(x)= x² − 4x + 8 parabolünün grafiği x eksenini kesmez.
  3. f(x)= x² + 10x + 25 parabolü x eksenine teğettir.

Ardından 7. maddede f(x)= x² − 8x − 12 fonksiyonunun alabileceği en küçük (minimum) değer sorulmaktadır.

Aşağıda tümünü adım adım açıklayalım:

1) f(x)= x² − 3x Parabolünün Orijinden Geçmesi

  • Bir parabolün orijinden geçmesi, f(0) = 0 olması demektir.
    f(0) = 0^2 - 3 \cdot 0 = 0
    Görüldüğü gibi sonuç 0 çıktığından grafik orijinden geçer. Dolayısıyla I. yargı doğrudur.

2) f(x)= x² − 4x + 8 Parabolünün x-Eksenini Kesmemesi

  • Bir parabolün x-ekseniyle kesişip kesişmediğini anlamak için diskriminant (Δ) değerine bakılır.
    $$\Delta = b^2 - 4ac$$
    Bu fonksiyonda a = 1, b = -4, c = 8’dir.
    \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16
  • Δ < 0 ise parabol gerçekte x-ekseniyle kesişmez (kökleri sanaldır). Burada Δ = -16 olduğu için x eksenini kesmez. Dolayısıyla II. yargı da doğrudur.

3) f(x)= x² + 10x + 25 Parabolünün x-Eksenine Teğet Olması

  • f(x)= x² + 10x + 25 ifadesi,
    (x + 5)^2
    biçimde yazılabilir.
  • Parabolün (x+5)^2 = 0 şeklinde çift kat kökü vardır. Bu da x = -5 noktasında x-ekseniyle sadece bir noktadan temas (teğetlik) ettiğini gösterir. Dolayısıyla III. yargı da doğrudur.

Bu üç yargının her biri doğru çıktığından 6. sorunun cevabı:

  • E) I, II ve III

4) f(x)= x² − 8x − 12 Fonksiyonunun En Küçük Değeri

  • Bu fonksiyonun en küçük değeri, tepe noktasında (vertex) ortaya çıkar. Tepe noktasının x-bileşeni:
    x_{tepe} = -\frac{b}{2a} \quad \text{(parabol $ax^2 + bx + c$ için)}
    Burada a = 1, b = -8 ise:
    x_{tepe} = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4
  • Fonksiyonun tepe noktasındaki değeri için x=4 yerine koyalım:
    f(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 - 12 = 16 - 32 - 12 = -28
  • Parabol yukarı doğru açıldığı (a=1>0) için tepe noktası minimum değeri verir. Bu da -28’dir.

Dolayısıyla 7. sorunun cevabı -28 seçeneğidir.

Özet Tablo

Fonksiyon Diskriminant (Δ) Değer İncelemesi Sonuç
f(x)= x² − 3x Δ = 9 (Orijinden geçer mi diye f(0)=0 baktık.) f(0)=0 → Orijinden geçer. (Doğru)
f(x)= x² − 4x + 8 Δ = -16 Δ<0 → x eksenini kesmez. Kök yok → x eksenini kesmez. (Doğru)
f(x)= x² + 10x + 25 Δ = 100 - 100= 0 (x+5)² şeklinde tek kök → x eksenine teğet. x eksenine teğet. (Doğru)
f(x)= x² - 8x - 12 a=1, b=-8, c=-12 Tepe noktası x=4 → f(4)= -28 → En küçük değer budur. Minimum değer = -28

Sonuç ve Kısa Özet

  • 6. soru için: I, II ve III’ün hepsi de doğru olduğundan cevap E) I, II ve III.
  • 7. soru için: f(x)= x² - 8x -12 fonksiyonunun en küçük değeri -28’dir.

@Hilal12