Orta okul matematik 2. Soru

YKS TYT
1

1000088082
1000088082509×479 35.8 KB

2

Yukarıdaki şekilde [BA] // [DC]'dir. m(ABD) = 4x + 5° ve m(BDC) = 6x + 15° ise, x kaç derecedir?

Cevap:

1. Problemin Tanımı ve Genel Yaklaşım

Bu soruda elimizde [BA] // [DC] olacak şekilde çizilmiş bir dörtgen (genellikle trapez benzeri bir yapı) bulunmaktadır. Soruda verilen açı ölçüleri:

  • ∠ABD = 4x + 5°
  • ∠BDC = 6x + 15°

İstenen, x değerini bulmaktır.

Paralel doğrularla ilgili önemli bir kural, “Aynı taraftaki iç açılar” (ya da diğer adıyla “iç ters açılar ve dış ters açılar”) özelliklerinden kaynaklanır. Eğer iki doğru paralelse ve bu doğruları bir kesen doğru kesiyorsa, belirli açılar ya eşit ya da çeşitli durumlarda 180°’ye tamamlar şekilde ilişki gösterirler.

Bu problemde BD doğrusu, [BA] ve [DC] doğrularını kesen bir “kesen” olarak düşünülebilir. Eğer [BA] // [DC] ise, ∠ABD ile ∠BDC çoğunlukla ya iç açılar ya da dış açılar kategorisine girer. Burada, geometrik konumlarından dolayı (B ve D noktaları üzerinden ölçülen açılar), bu iki açının toplamı 180° olacak şekilde düzenlenmiştir. Aşağıda bu ilişkiyi adım adım nasıl kullandığımızı açıklıyoruz.

2. Adım Adım Çözüm

  1. Verilen Açılar ve Paralellik Bilgisi

    • Paralel doğrular: BA ‖ DC
    • Verilen açı ölçüleri:
      • m(ABD) = 4x + 5°
      • m(BDC) = 6x + 15°

  2. Geometrik Özellik: Aynı Taraftaki İç Açıların Toplamı
    İki doğru paralel ve bir kesen (BD) söz konusu olduğunda, kesenin aynı yanındaki iç açılar birbirinin bütünleyeni (toplamları 180° olan açılar) şeklinde davranır. Yani:
    $$(4x + 5°) ;+; (6x + 15°) = 180°$$

  3. Açılar Arasındaki Denklemin Kurulması
    Denklemi açık biçimde yazalım:

    (4x + 5) + (6x + 15) = 180

    Bunu topladığımızda:

    4x + 5 + 6x + 15 = 180
    10x + 20 = 180

  4. Algebraik İşlemler ve x’in Bulunması

    • Her iki taraftan 20 çıkarılır:
      10x + 20 - 20 = 180 - 20
      10x = 160
    • 10’a bölünür:
      x = \frac{160}{10} = 16

  5. Sonucun Yorumu
    Bu sonuç bize x = 16° olduğunu göstermektedir (derece sembolü özellikle soru formatında açı değeri gibi gözüktüğü için, buradaki 16 sayısının “derece cinsinden” x değeri olduğunu anlıyoruz). Problemde sorulan “x kaç derecedir?” sorusunun cevabı 16 bulunmuştur. Soru seçeneklerinde de A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 biçiminde verildiği için doğru cevap 16 (A seçeneği) olarak ortaya çıkar.

3. Geometrik Temel İlke ve Açıklama

Bu sonuca ulaşmanın altındaki temel prensip, paralel iki doğru ile ilgili açı özelliklerine dayanır. Benzer örneklerde de karşımıza çıkabilecek kritik hatırlatmalar:

  • İç ters açılar eşit olur.
  • Dış ters açılar eşit olur.
  • Aynı taraftaki iç açılar (ya da “bir iç, bir dış” olarak da anılan bazı kaynaklarda) 180°’yi tamamlar.

Bu problemde ∠ABD ve ∠BDC açıları, paralel doğruların kesenle aynı tarafında bulunan iç açılar gibi davranır; bu nedenle toplamları 180°’dir. En temel yaklaşım, paralellik varsa, uygun açı çiftlerinin ya eşit ya da 180° olduğunu kontrol etmektir.

4. Ufak Bir Alternatif Açıklama (Kontrol Amaçlı)

Bazen öğrenciler, soruyu çözerken ∠ABD ve ∠BDC’nin komşu açılar olarak da 180° olabileceğini düşünebilir. Ancak esas dayanak, [BA] // [DC] paralelliğinden kaynaklanan aynı tarafta olma kuralıdır. Soruda şekil incelendiğinde, BD’nin kombinasyonuyla B ve D noktaları arasındaki açıların “zıt” konumlarda değil, aynı tarafta kaldığı görülür. Dolayısıyla 4x + 5 ve 6x + 15 ölçülerine sahip bu iki açının birlikte 180° olduğu açıktır.

5. Sınavlarda ve Alıştırmalarda Dikkat Edilmesi Gerekenler

  • Paralel Doğrular ve Açı Kavramları: Sorularda paralellik çok önemli bir ipucudur. Aynı taraf, iç ters, dış ters açı kavramlarını iyi bilmek gerekir.
  • Şeklin Doğru Analizi: Kimi zaman açıların yeri farklı çizimlerle karıştırılabilir. Şekli dikkatlice incelemek, açının hangi iki kolun kesiştiği nokta olduğunu doğru tespit etmek önemlidir.
  • Temel Geometrik Formülleri ve Kimlikleri Ezberleme: Açıların eşitliği ve toplamlarının 180° ya da 360° olma durumlarını, paralel doğrularla kesişen doğrulardan (kesenlerden) gelen özellikleri iyi şekilde ezberlemeli veya anlayarak öğrenmeliyiz.
  • Algebraik Doğruluk: Açıların ifadesi (4x + 5 vb.) ile ilgili bir denklem kurarken toplama, çıkarma ve bölme işlemlerini titizlikle yapmak gerekir.

6. Özet Tablo

Aşağıdaki tabloda bu problemi kısaca özetleyelim:

Adım İşlem / Açıklama Sonuç
1. Paralellik Bilgisi [BA] // [DC] verilmiştir. –
2. Verilen Açı Ölçüleri m(ABD) = 4x + 5°, m(BDC) = 6x + 15° –
3. Özellik Aynı taraftaki iç açılar toplamı 180° (4x + 5) + (6x + 15)
4. Denklemin Çözümü 10x + 20 = 180 → 10x = 160 → x = 16 x = 16
5. Sonuç x değeri bulunur. 16°

Yukarıdaki tablo, sorunun çözümünün kısa ve derli toplu bir özetini verir. Görüldüğü üzere temel adım, paralel doğruların varlığından gelen toplam 180° kuralını uygulamak ve devamında basit cebirsel işlemi yapmaktır.

7. Sonuç ve Özet

Bu soruda, [BA] // [DC] paralelliğinden dolayı ∠ABD ile ∠BDC açılarının toplamının 180° olması gerektiğini biliyoruz. Bu ilişkiyi kullanarak:

  1. Açı ölçülerini toplayıp 180°’ye eşitledik.
  2. Elde ettiğimiz denklemi çözdüğümüzde x = 16 sonucuna ulaştık.

Dolayısıyla, sorunun doğru cevabı 16’dır. Hem cebirsel işlemler hem de geometrik kurallar birbiriyle tutarlıdır. Bu tür sorular, paralel doğruların kesilmesi sonucu ortaya çıkan açı ilişkilerini kavramamız açısından son derece öğreticidir. Özellikle “aynı taraftaki iç açılar”ın toplamının 180° olduğunu asla unutmamak gerekir. Hem okul yazılılarında hem de LGS benzeri sınavlarda bu tip geometri soruları sıkça karşımıza çıkmaktadır.

Özetle, x = 16 değeri, hem verilen seçenekler arasındadır hem de geometrik olarak doğrulanmıştır. Böylece güvenle “A) 16” yanıtını işaretleyebiliriz.

@Evren_Yondemli