Soru: Yukarıdaki şekilde ([BA]) // ([DC])’dir, ([BC]), (\angle ABD)’nin açıortayı ve (\angle BCD = 18^\circ). Buna göre (\angle BDC) kaç derecedir?
Cevap:
Adım Adım Çözüm
-
Açıortayın Tanımı:
- ([BC]), (\angle ABD)’nin açıortayı olduğundan, (\angle ABC = \angle CBD) diyelim. Her birine (\alpha) dersek:
[
\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD = \alpha + \alpha = 2\alpha
]
- ([BC]), (\angle ABD)’nin açıortayı olduğundan, (\angle ABC = \angle CBD) diyelim. Her birine (\alpha) dersek:
-
Paralel Doğruların Kullanımı:
- ([BA]) // ([DC]) paralel olduğundan, BD keseni ile oluşan (\angle ABD) ve (\angle BDC) “içten yanaşık açılar”dır. Dolayısıyla:
[
\angle ABD + \angle BDC = 180^\circ
] - Buradan
[
2\alpha + \angle BDC = 180^\circ
\quad\Longrightarrow\quad
\angle BDC = 180^\circ - 2\alpha
]
- ([BA]) // ([DC]) paralel olduğundan, BD keseni ile oluşan (\angle ABD) ve (\angle BDC) “içten yanaşık açılar”dır. Dolayısıyla:
-
Üçgende Açı Toplamı:
- (B, C, D) noktalarıyla oluşan (\triangle BCD) üçgeninde açıların toplamı (180^\circ)tur:
[
\angle BCD + \angle BDC + \angle CBD = 180^\circ
] - Verilen (\angle BCD = 18^\circ) ve (\angle CBD = \alpha) olduğundan:
[
18^\circ + \angle BDC + \alpha = 180^\circ
\quad\Longrightarrow\quad
\angle BDC = 162^\circ - \alpha
]
- (B, C, D) noktalarıyla oluşan (\triangle BCD) üçgeninde açıların toplamı (180^\circ)tur:
-
İki Denklem Birleştirme:
-
- ve 3. adımlardaki sonuçları birleştirirsek:
[
180^\circ - 2\alpha = 162^\circ - \alpha
]
[
\alpha = 18^\circ
]
- ve 3. adımlardaki sonuçları birleştirirsek:
- (\alpha = 18^\circ) bulununca:
[
\angle BDC = 180^\circ - 2\cdot 18^\circ
= 180^\circ - 36^\circ
= 144^\circ
]
-
Dolayısıyla, (\angle BDC = 144^\circ) bulunur.
Özet Tablo
| Adım | İşlem / Açıklama | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Açıortay | (\angle ABD = 2\alpha) | (\angle ABC=\alpha), (\angle CBD=\alpha) |
| 2. Paralellikten Yararlanma | (\angle ABD + \angle BDC = 180^\circ) | (\angle BDC=180^\circ-2\alpha) |
| 3. Üçgendeki Açı Toplamı (BCD) | (\angle BCD + \angle BDC + \angle CBD = 180^\circ) | (\angle BDC=162^\circ-\alpha) |
| 4. Denklemleri Birleştirme | (180^\circ - 2\alpha = 162^\circ - \alpha) | (\alpha=18^\circ), (\angle BDC=144^\circ) |
Buna göre aranan açı 144°’tür.