Şekilde Verilenlere Göre x Kaç Derecedir?
Cevap:
Aşağıdaki adımları izleyerek bu geometri sorusunu çözebiliriz. Şekilde, üçgenin köşeleri A, B ve C olarak gösterilirken, D noktası üçgenin içerisinde (veya kenar üzerinde) yer alıyor. Verilen açılar şu şekilde isimlendirilmiştir:
- m(BAC) = x + 10°
- m(ABD) = 2x - 20°
- m(ACD) = 50°
- m(BDC) = 130°
Buradaki notasyonlarda orta harf, açının köşe (vertex) noktasını belirtir. Örneğin m(BAC), A noktasındaki açıyı gösterir (BA ile CA doğrularının oluşturduğu açı).
Aşağıdaki çözüm sürecinde temel olarak üçgenlerin iç açılarının 180° olması, ayrıca aynı üçgenin açılarını alt açılara bölebilme kuralından yararlanacağız.
1. Üçgen BDC’nin İç Açıları
Öncelikle D noktası, B ve C noktaları arasında (yada üçgenin içinde) yer alıyor olacak ki m(BDC) = 130° olsun. Bir üçgende iç açılar toplamı her zaman 180° olduğu için:
- BDC üçgeninin açıları: ∠BDC, ∠BCD, ∠CBD.
- Verilen: ∠BDC = 130°.
- Bilinmeyenler: ∠BCD ve ∠CBD.
Bu üçgende:
\text{∠BDC} + \text{∠BCD} + \text{∠CBD} = 180^\circ
Dolayısıyla
130^\circ + \text{(∠BCD)} + \text{(∠CBD)} = 180^\circ
\text{(∠BCD)} + \text{(∠CBD)} = 50^\circ
Yani ∠BCD + ∠CBD = 50° sonucuna ulaşırız.
2. Üçgen ABC’nin İç Açıları
Şekilde büyük üçgenin köşeleri A, B ve C olsun. Bu durumda:
- ∠BAC = x + 10° (A noktasındaki açı)
- ∠ABC, B noktasındaki açı; ancak şekil üzerinde bu açı iki parçaya ayrılıyor:
- m(ABD) = 2x - 20° (B noktasındaki alt açı)
- m(DBC) = ? (B noktasındaki diğer parça açı)
Dolayısıyla ∠ABC = (2x - 20°) + m(DBC).
- ∠ACB, C noktasındaki açı; şekil üzerinde bu açı da iki parçaya ayrılıyor:
- m(ACD) = 50° (C noktasındaki alt açı)
- m(DCB) = ? (C noktasındaki diğer parça açı)
Yani ∠ACB = 50° + m(DCB).
Bir üçgende iç açılar toplamı 180°’dir. Yani:
\text{∠BAC} + \text{∠ABC} + \text{∠ACB} = 180^\circ
Verilen/çıkarılan bilgileri yerine koyalım:
- ∠BAC = x + 10°
- ∠ABC = (2x - 20°) + m(DBC)
- ∠ACB = 50° + m(DCB)
Toplamları:
(x + 10^\circ) + \bigl[(2x - 20^\circ) + \text{m(DBC)}\bigr] + \bigl[50^\circ + \text{m(DCB)}\bigr] = 180^\circ
Mavi renkte gösterilen m(DBC) ve m(DCB) için, yukarıdaki Birinci Aşama’dan bildiğimiz üzere:
\text{m(DBC)} + \text{m(DCB)} = 50^\circ
Dolayısıyla:
(x + 10^\circ) + (2x - 20^\circ) + 50^\circ + \bigl[\text{m(DBC)} + \text{m(DCB)}\bigr] = 180^\circ
(x + 10) + (2x - 20) + 50 + 50 = 180
çünkü m(DBC) + m(DCB) = 50° ifadesini ekledik. Sadeleştirelim:
- (x + 10) + (2x - 20) = 3x - 10
- 3x - 10 + 100 = 180
- 3x + 90 = 180
- 3x = 90
- x = 30
Bu hesaplama gösterir ki aranan x değeri 30°’dir.
3. Bulunan Sonucun Kontrolü
-
x = 30 değerini yerine koyalım:
- m(BAC) = x + 10 = 30 + 10 = 40°
- m(ABD) = 2x - 20 = 60 - 20 = 40°
- m(ACD) = 50° (verilmişti)
- m(BDC) = 130° (verilmişti)
-
Ayrıca, BDC üçgeni için ∠BCD + ∠CBD = 50°, bu da tüm hesaplarla uyumludur.
-
Dolayısıyla x = 30° ifadesi tüm verileri doğru bir şekilde karşılar.
4. Özet Tablo
Aşağıdaki tabloda, her açıyı ve ilgili bağıntıları özetleyelim:
| Açının Adı | Alınan veya Hesaplanan Değer | Açıklama |
|---|---|---|
| m(BAC) | x + 10 = 30 + 10 = 40° | Üçgen ABC’nin A noktasındaki açı. |
| m(ABD) | 2x - 20 = (2×30) - 20 = 40° | B noktasının bir alt açısı (B ile A ve D’yi birleştiren doğrular arasındaki açı). |
| m(ACD) | 50° (veri) | C noktasının bir alt açısı (C ile A ve D’yi birleştiren doğrular arasındaki açı). |
| m(BDC) | 130° (veri) | Üçgen BDC’nin D noktasındaki iç açısı. |
| m(DBC)+m(DCB) | 50° | Üçgen BDC’den çıkarılan (B ve C noktalarındaki alt açıların toplamı). |
| x | 30° | Hesaplanan asıl bilinmeyen. |
Bu tablo, soruda verilen ve elde edilen tüm açıları düzenli bir şekilde göstermektedir.
5. Sonuç ve Önemli Noktalar
- İç Açılar Toplamı: Üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğu için, büyük üçgen ABC’deki açıları alt açılara bölerek (ABD + DBC) ve (ACD + DCB) toplamını kullanmak çözümün temelini oluşturur.
- Parça Açıların Toplamı: Üçgen BDC’de verilen 130° açı, kalan iki açının toplamını 50° yapar. Bu 50° de ABC üçgenindeki B ve C köşelerinin alt açılarını tanımlamada kritik rol oynar.
- Değer Doğrulama: x = 30 değeri, sorunun tüm gerekliliklerine uyum sağlayarak hem ABC hem de BDC iç açılarının tutarlı olmasını sağlar.
Sonuç olarak, x değeri 30°’dir.