Soru: X kesikli rasgele değişkeni λ = 1 parametreli Poisson dağılımına sahip olsun, yani, X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki şekilde olsun:
p_n = P\{X = n\} = \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda}, \quad n = 0, 1, 2, \ldots
Buna göre, a) X rasgele değişkeninin beklenen değerini, standart sapmasını b) P\{X > 2\} olasılığını, E(5X + 4) 'ü c) Y = e^X rasgele değişkeninin varyansını bulunuz.
Cevap:
a) X Rasgele Değişkeninin Beklenen Değeri ve Standart Sapması:
Poisson dağılımında beklenen değer (mean) ve varyans, dağılımın parametresi olan λ’ya eşittir.
-
Beklenen değer (E):
E[X] = \lambda = 1 -
Varyans (Var):
\text{Var}[X] = \lambda = 1 -
Standart sapma (σ):
\sigma = \sqrt{\text{Var}[X]} = \sqrt{1} = 1
b) (P{X > 2}) Olasılığı ve (E(5X + 4)):
-
(P{X > 2}) olasılığı:
P\{X > 2\} = 1 - P\{X \leq 2\}
P\{X \leq 2\} = P\{X = 0\} + P\{X = 1\} + P\{X = 2\}
P\{X = n\} = \frac{1^n}{n!} e^{-1} = \frac{e^{-1}}{n!}-
(P{X = 0}):
P\{X = 0\} = \frac{e^{-1}}{0!} = e^{-1} -
(P{X = 1}):
P\{X = 1\} = \frac{e^{-1}}{1!} = e^{-1} -
P\{X = 2\}:
P\{X = 2\} = \frac{1^2}{2!} e^{-1} = \frac{e^{-1}}{2}
P\{X \leq 2\} = e^{-1} + e^{-1} + \frac{e^{-1}}{2} = \frac{5e^{-1}}{2}
P\{X > 2\} = 1 - \frac{5e^{-1}}{2} = 1 - \frac{5}{2e}
-
-
E(5X + 4):
E(5X + 4) = 5E[X] + 4
E[X] = 1
E(5X + 4) = 5 \times 1 + 4 = 9
c) (Y = e^X) Rasgele Değişkeninin Varyansı:
-
Beklenen değer (E[Y]):
E[Y] = E[e^X]
Poisson dağılımında, moment üreteç fonksiyonu (MGF) M_X(t) = \exp(\lambda(e^t - 1)) olarak verilir.
E[e^X] = M_X(1) = \exp(\lambda(e^1 - 1)) = \exp(\lambda(e - 1))
\lambda = 1
E[e^X] = \exp(1(e - 1)) = e^{e - 1} -
Varyans (Var[Y]):
\text{Var}[Y] = E[Y^2] - (E[Y])^2
E[Y^2] = E[e^{2X}]
E[e^{2X}] = M_X(2) = \exp(\lambda(e^2 - 1)) = \exp(1(e^2 - 1)) = e^{e^2 - 1}\text{Var}[Y] = e^{e^2 - 1} - (e^{e - 1})^2
Sonuç olarak:
- Beklenen değer ( E[ X ] ): 1
- Standart sapma (σ): 1
- P\{X > 2\} : 1 - \frac{5}{2e}
- E(5X + 4) : 9
- Y = e^X rasgele değişkeninin varyansı: e^{e^2 - 1} - (e^{e - 1})^2