Görüntüde verilen 8. soruya göre, sürekli bir rastgele değişken olan X’in olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) = 2(1-x) olarak tanımlanmıştır (0 ≤ x ≤ 1 aralığında). Bu fonksiyonun grafiğini çizmek ve toplam dağılım fonksiyonunu bulmak gerekiyor.
1. f(x) Fonksiyonunun Grafiği
Verilen fonksiyon:
Adım adım grafik çizimi:
- Başlangıç Değeri: x = 0 için f(0) = 2(1-0) = 2.
- Bitiş Değeri: x = 1 için f(1) = 2(1-1) = 0.
Bu değerler arasında fonksiyon azalan bir doğrudur. Grafikte y-eksenini (f(x)) 2’den kesip x-eksenine (x) 1’de dokunan bir doğru çizeriz.
2. Toplam Dağılım Fonksiyonu F(x)
Toplam dağılım fonksiyonu F(x), f(x)'in belirli bir x’e kadar olan alanını (integralini) gösterir:
Bu integral aşağıdaki gibidir:
-
Öncelikle integrali hesaplayalım:
F(x) = \int 2(1-t) \, dt = \int (2 - 2t) \, dt -
Bu integrali çözelim:
F(x) = \left[ 2t - t^2 \right]_{0}^{x} -
Sınırları yerine koyarak:
F(x) = (2x - x^2) - (2 \cdot 0 - 0^2)F(x) = 2x - x^2 \quad \text{(0 ≤ x ≤ 1)}
Bu, F(x)'in toplam dağılım fonksiyonu ve 0 ≤ x ≤ 1 aralığında doğrudur. F(x), x=0’da 0 ve x=1’de 1 değerine ulaşmalıdır, bu da toplam olasılığın 1 olduğu anlamına gelir.
Grafik Çizimi:
- f(x) Grafiği: Doğrusal ve azalan, y-eksenini 2’den kesip x-eksenine 1’de dokunan bir çizgi.
- F(x) Grafiği: Parabolik bir çizgi, x=0’da 0’dan başlayıp x=1’de zirve noktasına çıkar (1 değerine ulaşır).
Bu bilgileri kullanarak grafiği çizdiğinizde, f(x) için dikey bir doğrunun, F(x) için de parabolün şeklini göreceksiniz.