!image|375x500 [Link Silindi]
Sorunun Adımı:
Verilen grafikte y = f(x) fonksiyonu tanımlanmış. f(x) 'in, f\left(\frac{x}{2}\right) ifadesine dönüştürüldüğünde ortaya çıkan grafiği çizmemiz gerekmektedir.
Fonksiyon Dönüşümüne Genel Bakış:
Bir fonksiyon üzerinde f(x) \to f\left(\frac{x}{2}\right) dönüşümü, x ekseni üzerinde yatay bir sıkıştırma veya genişleme anlamına gelmektedir. Bu dönüşüm:
- x 'i 2 ile çarpar.
- Yani, orijinal fonksiyondaki x değerleri iki kat hızla ilerler.
Genel olarak:
- Eğer f(ax) varsa, a > 1 olduğunda grafik x ekseninde sıkışır.
- Eğer 0 < a < 1 ise grafik x ekseninde genişler.
Adım Adım Çözüm:
1. Fonksiyon Analizi ve Dönüşümün Etkisi:
Verilen grafikte y = f(x) , belirli x aralığında doğrusal ve sabit parçalardan oluşmaktadır:
- Aralık -3 ≤ x ≤ 1: Fonksiyon sabit, f(x) = 2 .
- Aralık 1 ≤ x < 3: Fonksiyon azalan bir doğru, y = -x + 4 .
Şimdi f\left(\frac{x}{2}\right) 'i inceleyelim:
- Bu dönüşüm, x değerlerini 2 ile çarpmaktadır.
Yeni aralık ve noktalar üzerinden işleyeceğiz:
- x \to 2x : Grafikteki kırılma noktaları x değerlerinde yatay olarak iki kat genişleyecek.
2. Yeni Kırılma Noktalarının Hesaplanması:
Her noktayı y = f(x) 'den y = f\left(\frac{x}{2}\right) 'ye dönüşüm uygulayarak çizileceğiz.
| Eski Nokta (x, y) | Yeni Nokta (x', y), x' = 2x |
|---|---|
| (-3, 2) | (-6, 2) |
| (1, 2) | (2, 2) |
| (3, 0) | (6, 0) |
3. Yeni Aralıkların İncelenmesi:
Yukarıdaki noktaların yardımıyla yeni grafiği şu şekilde inceleyebiliriz:
-
Kısım 1: -6 ≤ x ≤ 2
-3 ≤ x ≤ 1 aralığı artık -6 ≤ x ≤ 2 aralığına dönüşmektedir.
Bu bölgede fonksiyon sabit: f\left(\frac{x}{2}\right) = 2 . -
Kısım 2: 2 ≤ x < 6
1 ≤ x < 3 aralığı artık 2 ≤ x < 6 aralığına dönüşür.
Bu bölgede fonksiyon azalan bir doğrudur:
Orijinal ifade y = -x + 4 , dolayısıyla yeni ifade:y = -\frac{x}{2} + 4.
Sonuç: Yeni Fonksiyonun Grafiği
Yeni Grafik Özet:
| Aralık | Fonksiyon |
|---|---|
| -6 ≤ x ≤ 2 | f(x) = 2 |
| 2 ≤ x < 6 | y = -\frac{x}{2} + 4 |
Grafik Çizim:
Aşağıdaki bilgileri kullanarak grafiği oluşturun:
- -6 ile 2 arasında yatay bir doğrunun başlangıç noktası: Orijinal grafikten 2’yi alır.
- Doğrultusu