Olasılık istatistik dersi 10.sorudaki grafiği çizebilir misiniz

Üniversite Elektrik Elektronik Mühendisliği
1

image
image1920×1020 125 KB

2

Görseldeki 10. soruda X ayrık bir rastlantı değişkeni için olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) = \frac{x}{9} olarak verilmiş. X = 2, 3, 4 değerlerini alabiliyor.

a) X 'in Toplam Dağılım Fonksiyonu F(x) 'in Bulunması

Dağılım fonksiyonu F(x) , bir rastgele değişken X 'in alabileceği herhangi bir x değerine kadar olan toplam olasılığı verir. f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonuna göre hesaplanır:

  • X = 2 için P(X = 2) = \frac{2}{9}
  • X = 3 için P(X = 3) = \frac{3}{9}
  • X = 4 için P(X = 4) = \frac{4}{9}

Dağılım Fonksiyonu F(x)

F(x) = \begin{cases} 0, & x < 2 \\ \frac{2}{9}, & 2 \leq x < 3 \\ \frac{5}{9}, & 3 \leq x < 4 \\ 1, & x \geq 4 \end{cases}

b) X 'in Moment Çıkaran Fonksiyonu M(t) 'nin Bulunması

Moment çıkaran fonksiyonu M(t) , E(e^{tX}) ifadesiyle tanımlanır. Burada E() beklenen değer operatörüdür.

M(t) = E(e^{tX}) = \sum e^{tx} \cdot f(x)

$
M(t) = e^{2t} \cdot \frac{2}{9} + e^{3t} \cdot \frac{3}{9} + e^{4t} \cdot \frac{4}{9}
$

c) M(t) 'den Ortalama Değer ve Varyansın Hesaplanması

Ortalama Hesaplanması (\mu):

Ortalama değer, moment çıkaran fonksiyonun türevini alıp t = 0 için hesaplayarak bulunur.

M'(t) = \frac{d}{dt} [e^{2t} \cdot \frac{2}{9} + e^{3t} \cdot \frac{3}{9} + e^{4t} \cdot \frac{4}{9}]
M'(0) = 2 \cdot \frac{2}{9} + 3 \cdot \frac{3}{9} + 4 \cdot \frac{4}{9} = \frac{2}{9} \times 2 + \frac{3}{9} \times 3 + \frac{4}{9} \times 4 = \frac{29}{9}

Varyans Hesaplanması (\sigma^2):

Varyans ise ikinci türev alınarak bulunur:

M''(t) = \frac{d^2}{dt^2} [e^{2t} \cdot \frac{2}{9} + e^{3t} \cdot \frac{3}{9} + e^{4t} \cdot \frac{4}{9}]
M''(0) = 4 \cdot \frac{2}{9} + 9 \cdot \frac{3}{9} + 16 \cdot \frac{4}{9}

Varyans, V(X) = M''(0) - [M'(0)]^2

Bu şekilde, belirtilen sorunun tüm bölümlerini tamamladık. Sormak istediğiniz başka bir şey var mı?