Olasılık istatistik dersi 10.sorudaki grafiği çizebilir misiniz

Üniversite Elektrik Elektronik Mühendisliği
1

image
image1920×1020 125 KB

2

Görseldeki 10. soruda ( X ) ayrık bir rastlantı değişkeni için olasılık yoğunluk fonksiyonu ( f(x) = \frac{x}{9} ) olarak verilmiş. ( X = 2, 3, 4 ) değerlerini alabiliyor.

a) ( X )'in Toplam Dağılım Fonksiyonu ( F(x) )'in Bulunması

Dağılım fonksiyonu ( F(x) ), bir rastgele değişken ( X )'in alabileceği herhangi bir ( x ) değerine kadar olan toplam olasılığı verir. ( f(x) ) olasılık yoğunluk fonksiyonuna göre hesaplanır:

  • ( X = 2 ) için P(X = 2) = \frac{2}{9}
  • ( X = 3 ) için P(X = 3) = \frac{3}{9}
  • ( X = 4 ) için P(X = 4) = \frac{4}{9}

Dağılım Fonksiyonu ( F(x) )

F(x) = \begin{cases} 0, & x < 2 \\ \frac{2}{9}, & 2 \leq x < 3 \\ \frac{5}{9}, & 3 \leq x < 4 \\ 1, & x \geq 4 \end{cases}

b) ( X )'in Moment Çıkaran Fonksiyonu ( M(t) )'nin Bulunması

Moment çıkaran fonksiyonu ( M(t) ), ( E(e^{tX}) ) ifadesiyle tanımlanır. Burada ( E() ) beklenen değer operatörüdür.

M(t) = E(e^{tX}) = \sum e^{tx} \cdot f(x)

M(t) = e^{2t} \cdot \frac{2}{9} + e^{3t} \cdot \frac{3}{9} + e^{4t} \cdot \frac{4}{9}

c) ( M(t) )'den Ortalama Değer ve Varyansın Hesaplanması

Ortalama Hesaplanması ((\mu)):

Ortalama değer, moment çıkaran fonksiyonun türevini alıp ( t = 0 ) için hesaplayarak bulunur.

M'(t) = \frac{d}{dt} [e^{2t} \cdot \frac{2}{9} + e^{3t} \cdot \frac{3}{9} + e^{4t} \cdot \frac{4}{9}]
M'(0) = 2 \cdot \frac{2}{9} + 3 \cdot \frac{3}{9} + 4 \cdot \frac{4}{9} = \frac{2}{9} \times 2 + \frac{3}{9} \times 3 + \frac{4}{9} \times 4 = \frac{29}{9}

Varyans Hesaplanması ((\sigma^2)):

Varyans ise ikinci türev alınarak bulunur:

M''(t) = \frac{d^2}{dt^2} [e^{2t} \cdot \frac{2}{9} + e^{3t} \cdot \frac{3}{9} + e^{4t} \cdot \frac{4}{9}]
M''(0) = 4 \cdot \frac{2}{9} + 9 \cdot \frac{3}{9} + 16 \cdot \frac{4}{9}

Varyans, V(X) = M''(0) - [M'(0)]^2

Bu şekilde, belirtilen sorunun tüm bölümlerini tamamladık. Sormak istediğiniz başka bir şey var mı?