P(n, 2) = 5 · P(n, 1) olduğuna göre, n kaçtır?
Bu soruyu çözmek için permütasyon formüllerini kullanacağız. Permütasyon formülleri şu şekildedir:
P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}
Bu formülleri kullanarak verilen ifadeyi çözebiliriz.
- P(n, 2) ifadesini yazalım:
P(n, 2) = \frac{n!}{(n-2)!}
- P(n, 1) ifadesini yazalım:
P(n, 1) = \frac{n!}{(n-1)!}
- Verilen ifadeyi yerine koyalım:
\frac{n!}{(n-2)!} = 5 \cdot \frac{n!}{(n-1)!}
- Her iki tarafı da sadeleştirelim:
\frac{n!}{(n-2)!} = 5 \cdot \frac{n!}{(n-1)!}
\frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{(n-2)!} = 5 \cdot \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{(n-1) \cdot (n-2)!}
n \cdot (n-1) = 5 \cdot n
n \cdot (n-1) = 5n
n^2 - n = 5n
n^2 - 6n = 0
n(n - 6) = 0
- Elde edilen denklemi çözelim:
- n = 0 (Bu değer permütasyonlar için geçerli değildir)
- n - 6 = 0 \Rightarrow n = 6
Dolayısıyla, doğru cevap n = 6 yani \boxed{6} olacaktır.