N kaçtır detaylı çözüm

N kaçtır

Problem: N kaçtır?

Verilen denklem:

\frac{(n+1)!}{n! + (n-1)!} = 5

Bu denklemi çözmek için adım adım ilerleyelim.

Adım 1: Faktöriyel Tanımlamaları

Faktöriyel tanımını kullanarak ifadenin içini açalım:

  • (n+1)! = (n+1) \cdot n!

Adım 2: Denklemi Düzenleme

Denklemi yerine koyarak:

\frac{(n+1) \cdot n!}{n! + (n-1)!} = 5

Bu denklemi yeniden yazalım ve sadeleştirelim:

  • n! + (n-1)! = n! + \frac{n!}{n} = n! \left(1 + \frac{1}{n}\right)

Adım 3: Çarpan Haline Getirme ve Çözme

Denklemi yeniden düzenleyelim:

(n+1) \cdot n! = 5 \cdot \left(n! \left(1 + \frac{1}{n}\right)\right)

Sadeleştirelim:

(n+1) = 5 \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right)
n+1 = 5 + \frac{5}{n}

Adım 4: n’yi Bulma

Her iki tarafı da n ile çarptığımızda:

n(n+1) = 5n + 5

Bu denklemi düzenleyelim:

n^2 + n - 5n - 5 = 0
n^2 - 4n - 5 = 0

Adım 5: Denklemi Çözme

Bu bir ikinci dereceden denklemdir ve çözüm için diskriminantı kullanabiliriz:

D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36

Kökler:

n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 6}{2}
n_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5, \quad n_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1

Pozitif tam sayı olarak n = 5.

Sonuç: n değeri 5’tir.