Soru: 19
Bir doğal sayı olmak üzere aşağıdaki ifadenin değeri nedir?
Verilen İfade:
\frac{(n-1)!+(5-n)!}{(n-5)!+(n-2)!}
Çözüm:
Adım 1: Faktöriyel Hakkında Hatırlatma
Bir faktöriyel, bir sayının sıfıra kadar olan ardışık pozitif tam sayıların çarpımıdır. Örnek:
- $$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$$
Adım 2: n Değerine Bakalım
Soru içerisinde $$n$$'in bir doğal sayı olduğu belirtilmiştir. Ayrıca faktöriyel ifadeleri içerdiğinden, faktöriyel tanım gereği negatif değerler tanımsızdır. Bu nedenle, $$n \geq 5$$ olmalıdır.
Adım 3: $$n = 5$$ için Hesaplama
Öncelikle, $$n$$ değerini $$5$$ olarak alalım:
- Payda Hesabı:
- $$ (n-1)! = (5-1)! = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$
- $$ (5-n)! = (5-5)! = 0! = 1 , \text{(Not: 0! = 1 olarak tanımlanır)}$$
Toplam:
(n-1)! + (5-n)! = 24 + 1 = 25
- Paydaki Hesaplama:
- $$ (n-5)! = (5-5)! = 0! = 1$$
- $$ (n-2)! = (5-2)! = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$$
Toplam:
(n-5)! + (n-2)! = 1 + 6 = 7
- Genel İfade:
\frac{(n-1)!+(5-n)!}{(n-5)!+(n-2)!} = \frac{25}{7}
Bu durumda, kesir tam bir sonuç vermiyor. Burada, $$n$$'in farklı bir değerine bakılması gerekebilir.
Adım 4: Alternatif $$n$$ Değerleri
Eğer $$n > 5$$ alınırsa bu faktöriyel tanımları karmaşıklaşır. Soru içinde belirtilen net bir seçenek olmadığından doğru çözümü tam görmek için problem kuralına göre geniş çözümü tamamla!