Soruyu çözelim.
Verilen denklem:
$$\frac{(n+2)!}{(n-1)!} - \frac{(n+1)!}{(n-2)!} = 18$$
Bu denklemi düzenleyelim:
-
Faktöriyelleri Açalım:
- (n+2)! = (n+2)(n+1)n(n-1)!
- (n+1)! = (n+1)n(n-1)!
- (n-1)! ve (n-2)! aynen kalır.
-
Denklemi Yazalım:
$$\frac{(n+2)(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!} - \frac{(n+1)n(n-1)!}{(n-2)!} = 18$$ -
Faktöriyelleri Sadeleştirelim:
- İlk terim: (n+2)(n+1)n
- İkinci terim: (n+1)n(n-1)
-
Sadeleşmiş Denklem:
$$(n+2)(n+1)n - (n+1)n(n-1) = 18$$ -
Denklemi Çözümleyelim:
İlk terimi açalım:
$$(n+2)(n+1)n = n(n+1)(n+2) = n^3 + 3n^2 + 2n$$İkinci terimi açalım:
$$(n+1)n(n-1) = n(n^2 - 1) = n^3 - n$$Denklemi Birleştirelim:
$$n^3 + 3n^2 + 2n - (n^3 - n) = 18$$
$$n^3 + 3n^2 + 2n - n^3 + n = 18$$
$$3n^2 + 3n = 18$$
Ortak Çarpanları Alalım:
$$3n(n + 1) = 18$$
-
Her İki Tarafı 3’e Bölelim:
$$n(n + 1) = 6$$
$$n^2 + n - 6 = 0 $$
-
Denklemin Kökleri:
Çarpanlarına ayırarak:
$$(n + 3)(n - 2) = 0$$Buradan n = -3 ve n = 2 bulunur.
Doğal sayı olarak, n = 2 çözümü uygundur.
Cevap: D) 2