Soru:
Ahmet parasının önce 1/4’ünü, sonra 2/3’ünü harcamıştır. Ahmet’in geriye 150 TL parası kaldığına göre, başlangıçtaki toplam parası kaç TL’dir? (İşlemlerinizi gösteriniz.)
Cevap:
Aşağıda bu sorunun çözümünü adım adım göstererek, konuya ilişkin kavramları netleştiren detaylı bir açıklama bulabilirsiniz. Bu yöntemi takip ederek hem problemdeki kesir işlemlerini anlamak hem de sonuçtaki miktarı hesaplamak kolaylaşacaktır.
1. Problemin Anlaşılması
Bu problem, “Ahmet başlangıçtaki parasından önce 1/4 kadarını, sonra da kalan paranın 2/3 kadarını harcıyor ve sonunda elinde 150 TL kalıyor” şeklinde tanımlanır. Buradaki kritik nokta, ikinci harcama işleminin, geriye kalan paranın $\frac{2}{3}$’ü oranında olduğudur. Soru bizden bu bilgiyle Ahmet’in başlangıçtaki toplam parasını (örneğin x TL) bulmamızı istemektedir.
Önce şu soruları netleştirelim:
- Ahmet toplam parasının $\frac{1}{4}$’ünü harcayınca elinde ne kadar kalmıştır?
- Kalan paradan \frac{2}{3} daha harcarsa sonunda ne kadar kalır?
- Bu son kalan miktarın 150 TL olduğu belirtiliyor. Bu 150 TL’nin, başlangıçtaki paraya karşılık gelen değeri nasıl bulabiliriz?
2. Değişken Tanımlama
Problemlerde bilinmeyeni bulmak için genellikle bir değişken tanımlamak işe yarar. Burada Ahmet’in toplam parasını x ile ifade edebiliriz. Buna göre:
- Başlangıçtaki toplam para: x TL.
Bu değişken üzerinden ilerlediğimizde kesirlerle ilgili tüm işlemleri şeffaf bir şekilde gerçekleştirebiliriz.
3. Birinci Harcama: Paranın 1/4’ünün Harcanması
Ahmet, parasının önce $\frac{1}{4}$’ünü harcıyorsa, aşağıdaki işlemleri takip edebiliriz:
- Harcanan miktar = \frac{1}{4} \times x = \frac{x}{4}.
- Geriye kalan para = \left(x - \frac{x}{4}\right) = \frac{3x}{4}.
Dolayısıyla birinci harcamadan sonra Ahmet’in elinde \frac{3}{4}x TL kalmaktadır.
4. İkinci Harcama: Artık Paranın 2/3’ünün Harcanması
İkinci aşamada, Ahmet’in elinde kalan \frac{3}{4}x tutarının $\frac{2}{3}$’ünü tekrar harcamıştır. Bu harcama miktarını şu şekilde hesaplayabiliriz:
- İkinci harcamada harcanan tutar = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} x = \frac{2 \times 3}{3 \times 4} x = \frac{2}{4} x = \frac{x}{2}.
Dikkat edilirse \frac{3}{4} x tutarının $\frac{2}{3}’ünü harcamak, \frac{3}{4} x \times \frac{2}{3} = \frac{2}{4}x = \frac{x}{2}$ sonucunu verir. Peki geriye ne kadar kalır?
- İkinci harcamadan sonra kalan para = \left(\frac{3}{4}x - \frac{x}{2}\right).
Bu değeri basitleştirelim:
Yani ikinci harcamanın sonunda Ahmet’in elinde \frac{1}{4} x TL para kalmıştır.
5. Kalan Paranın 150 TL Olduğu Bilgisi
Soruda, ikinci harcamanın ardından Ahmet’in elinde kalan miktarın 150 TL olduğu belirtiliyor. Bir önceki adımda bu kalan miktarı \frac{1}{4}x olarak bulmuştuk. Dolayısıyla:
Bu denklem, $\frac{1}{4} x$’in 150 TL’ye eşit olduğunu söyler. Buradan x değerini bulmak için her iki tarafı 4 ile çarparız:
Demek ki Ahmet’in başlangıçtaki toplam parasının 600 TL olduğunu tespit ediyoruz.
6. Sonucun Doğrulanması
Bulduğumuz 600 TL sonucunu tek tek aşamalara uygulayarak doğrulayabiliriz:
- Ahmet’in toplam parası: 600 TL.
- Birinci harcama: \frac{1}{4} \times 600 = 150 TL harcanır; kalan = 600 - 150 = 450 TL.
- İkinci harcama: Kalan 450 TL’nin $\frac{2}{3}$’ü = 450 \times \frac{2}{3} = 450 \times \frac{2}{3} = 300 TL harcanır; kalan = 450 - 300 = 150 TL.
Görüldüğü gibi sonuç, sorudaki 150 TL’ye tam olarak uyuyor. Böylece hesabımızın doğru olduğunu ispatlamış oluyoruz.
7. Kesir Problemlerinde Öneriler
- Değişken Tanımlama: Probleminizde bilinmeyeni x gibi bir harf ile göstererek ilerleyin.
- Kesir İşlemleri: Harcanan veya kalan miktarı açıkça yazmak, hataları önler.
- Adım Adım Çözüm: Her aşamada kalan ve harcanan tutarı ayrı ayrı hesaplayın; tek seferde tüm işlemi yapmaya çalışmak karışıklığa neden olabilir.
- Doğrulama: Elde ettiğiniz cevabı orijinal metinle mutlaka karşılaştırarak geri dönüş kontrolü yapın.
8. Tablo ile Özet
Aşağıdaki tabloda, her adımda Ahmet’in parasında olan değişiklikleri özet halinde bulabilirsiniz:
| Adım | Yapılan İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Toplam Para | Ahmet’in başlangıçtaki parası x olarak tanımlanır | x TL |
| 2. İlk Harcama | Paranın $\frac{1}{4}’ü harcanır: \frac{x}{4}$ | Kalan para: \frac{3}{4}x |
| 3. İkinci Harcama | Kalan paranın $\frac{2}{3}’ü harcanır: \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} x = \frac{x}{2}$ | Kalan para: \frac{1}{4}x |
| 4. Kalan Para = 150 TL | \frac{1}{4} x = 150 | x = 600 TL |
| 5. Sonuç | Ahmet’in başlangıçtaki toplam parası | 600 TL |
Bu tablo, problemin en kritik adımlarını ve sonuçlarını hızlıca görmenizi sağlar.
9. Sonuç
Yukarıdaki çözüm aşamalarına dayanarak:
- Ahmet’in toplam parası = 600 TL.
Problemin ana fikri kesirlerle işlem yapmayı doğru yorumlamak ve verilen nihai değeri (150 TL) referans alarak geriye dönük hesap yapmaktır. Bu tür kesir problemlerinde, her harcamanın ya da eklemenin hangi miktar üzerinden hesaplandığını net bir şekilde kavramak en önemli noktadır. Ayrıca, doğru bir denklemin kurulması ve adım adım çözüm yapılması, sonucun hatasız bir biçimde bulunmasını sağlar.
Bu sayede 150 TL’nin Ahmet’in parasının $\frac{1}{4}$’ü olması gerektiğini anlıyor, oradan da 600 TL sonucuna ulaşıyoruz.