Soru: Ahmet parasının önce 1/4’ünü, sonra 2/3’ünü harcamıştır. Ahmet’in geriye 150 TL parası kalmıştır. Buna göre Ahmet’in toplam parasının kaç Türk lirası olduğunu bulunuz. İşlemlerinizi gösteriniz. (10 puan)
Cevap:
Aşağıdaki çözümde, Ahmet’in başlangıçtaki parasını X olarak kabul edip bu parayla ilgili kesirli işlemleri sırasıyla inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyerek problemin mantığını kavramaya çalışalım.
1. Problemin Analizi
Bu problem, kesirlerle işlem yapmanın yanı sıra problem çözüm yeteneği ve mantık yürütmeyi gerektirir. Ahmet, parasının önce 1/4’ünü harcıyor, sonra kalanının 2/3’ünü harcıyor. En sonunda elinde 150 TL kalıyor.
- Başlangıçtaki para miktarını X olarak düşünürsek:
- İlk harcama: 1/4’ü harcanır.
- İkinci harcama: İlk harcamadan sonra kalan miktarın 2/3’ü harcanır.
- Sondaki miktar: 150 TL olarak belirtilmiştir.
Bu tür sorularda genelde geriye kalan para üzerinden kesirlerin uygulanması önemlidir. İlk harcamadan sonra kalan paranın ne olduğunu bulduktan sonra ikinci harcamayı ona göre hesaplamalıyız.
2. Adım Adım Çözüm
2.1. İlk Harcama (1/4)
- Ahmet, parasının 1/4’ünü harcar.
- Eğer toplam para X TL ise, harcanan kısım:\frac{1}{4} \times X = \frac{X}{4}
- Bu harcamadan sonra Ahmet’te kalan para:X - \frac{X}{4} = \frac{3X}{4}
2.2. İkinci Harcama (2/3)
- İkinci harcama, ilk harcamadan sonra kalan para üzerinden hesaplanır.
- İlk harcamadan sonra elinde 3X/4 kalmıştı. Bu miktarın 2/3’ünü harcar:\frac{2}{3} \times \frac{3X}{4} = \frac{2 \cdot 3X}{3 \cdot 4} = \frac{6X}{12} = \frac{X}{2}
- Yani bu aşamada 3X/4’ün 2/3’ü kadar para harcanır. Harcanan miktar X/2 olur.
- Öyleyse ikinci harcamadan sonra elinde kalan para:\frac{3X}{4} - \frac{X}{2}Burada,\frac{3X}{4} = \frac{6X}{8} \quad \text{ve} \quad \frac{X}{2} = \frac{4X}{8}Dolayısıyla,\frac{3X}{4} - \frac{X}{2} = \frac{6X}{8} - \frac{4X}{8} = \frac{2X}{8} = \frac{X}{4}
2.3. Son Kalan Para (150 TL)
- İkinci harcamadan sonra Ahmet’te kalan miktar X/4’tür.
- Soruda bu değerin 150 TL olduğu belirtiliyor:\frac{X}{4} = 150
- Ufak bir denklem çözümüyle X bulunur:X = 150 \times 4 = 600
2.4. Sonuç
- Ahmet’in başlangıçtaki toplam parası: 600 TL.
3. Kesirlerle İşlem Yaparken Dikkat Edilecek Noktalar
- Kalıp yaklaşım: Eğer bir miktarın önce bir kesri, sonra başka bir kesri harcanıyorsa veya ekleniyorsa, işlem sırasına çok dikkat etmek gerekir.
- Mantıksal sıralama: Önce 1/4’ü harcanınca sonucu 3/4 olarak buluruz. Ardından bu yeni miktarın 2/3’ünü harcamak, ilk bakışta kesirleri üst üste bindirir ama doğru şekilde adım adım ilerlemek herhangi bir karışıklığı önler.
- Doğrulama: Bulduğumuz sonuç 600 TL’dir. Soruda, geriye 150 TL kaldığı söyleniyor. Bunu kontrol etmek için geriye dönük hızlı bir test yapabiliriz:
- 600 TL’den önce 1/4 (150 TL) harcarız, kalır 450 TL.
- 450 TL’nin 2/3’ünü (300 TL) harcarız, kalır 150 TL.
- Bu da soruyla %100 uyumludur.
4. Ek Açıklamalar
Bu soru, Kesir Problemleri, Oran-Orantı ve Problem Çözme Teknikleri içerisinde sıkça rastlanan bir örnektir. Öğrencilerin adım adım ilerleyerek her bir işlemi dikkatle not etmesi önemlidir. Özellikle önce kalan miktarı belirlemek, sonra o kalan para üzerinden yeni kesirsel harcamayı yapmak öğrencilerde “Problemi iki aşamada inceleme” becerisini geliştirir. Matematikte sıklıkla, “bir miktarı iki aşamada harcama / ekleme / bölüştürme” gibi işlemlerde, her seferinde yeni duruma göre hesap yapmak gerekir.
Ayrıca bu tarz sorularda, “önce 1/4’ü harcandıktan sonra 3/4’ü kaldı” gibi temel çıkarımların kesir aritmetiğiyle entegre edilmesi öğrenmeyi pekiştirir. Hem kesir kavramını hem de gerçek bir senaryoyu (para harcama) bir arada görmek, matematiğin hayattaki uygulamasını daha anlaşılır hâle getirir.
5. Sonucun Tablo İle Gösterimi
Aşağıdaki tablo, adım adım ne kadar para harcandığını ve geriye ne kadar kaldığını özetlemektedir:
| Adım | İşlem | Matematiksel Gösterim | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 1. Başlangıç | Ahmet’in toplam parası | X | X TL |
| 2. İlk harcama | Toplam paranın 1/4’ünü harcar | Harcanan: X/4, Kalan: X − X/4 | Kalan: 3X/4 |
| 3. İkinci harcama (kalanın 2/3’ü) | 3X/4’ün 2/3’ü kadar harcama | Harcanan: (2/3)×(3X/4) = X/2 | Kalan: 3X/4 − X/2 |
| 4. İkinci harcamadan sonra geriye kalan miktar | 3X/4 − X/2 | 3X/4 − X/2 = X/4 | X/4 |
| 5. Sondaki bilinen durum | Kalan = 150 TL | X/4 = 150 | X = 600 TL |
Yukarıdaki tablo verilerine göre, X = 600 TL sonucuna ulaşırız.
6. Özet ve Öğrenilenler
- Kesirlerin Uygulanması: Toplamdan direkt 1/4’ün çıkarılması, sonra çıkan sonucun 2/3’ü kadar daha harcanması, kesirlerle işlem yapma mantığını pekiştirmemizi sağladı.
- Denetim/Yeniden Kontrol: En sonunda kalan miktar 150 TL ile sorudaki bilgi uyuşuyorsa, sonuç doğrudur.
- Gerçek Yaşam Bağlantısı: Parayla işlem yapılması öğrencileri motive edebilir, çünkü gerçek yaşamdaki harcamalara benzer senaryolar sunar.
Bu adımlar sonunda gördüğümüz gibi Ahmet’in ilk başta 600 TL tutarında parası olduğunu kesin olarak tespit ettik.
Soru: Ahmet parasının önce 1/4’ünü, sonra 2/3’ünü harcamıştır. Ahmet’in geriye 150 TL parası kalmıştır. Buna göre Ahmet’in toplam parasının kaç Türk lirası olduğunu bulunuz. İşlemlerinizi gösteriniz. (10 puan)
Cevap
Bu problem, kesir kavramını ve harcama işlemlerini birleştiren klasik bir matematik sorusudur. Aşağıdaki çözüm aşamalarında Ahmet’in başlangıçtaki parasını nasıl bulacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Soruya doğru cevap verebilmek için, önce hangi kesir kadar paranın harcandığını, ardından geriye ne kadar kaldığını takip etmek önemlidir. Sorunun sonunda, kesirlerle yapılan harcama işlemleri sayesinde Ahmet’in toplam parasını bulacağız.
1. Problemdeki Temel Veriler ve Değişken Seçimi
- Ahmet’in başlangıçtaki parasını X TL olarak kabul edelim.
- Soruda, parasının önce 1/4’ünü harcadığı, ardından kalan paranın 2/3’ünü daha harcadığı söylenmektedir.
- Bütün bu harcamalar bittikten sonra, Ahmet’in elinde 150 TL kalmıştır.
Bu üç maddenin ışığında, kesirlerle işlem yapmanın mantığını doğru uygulayarak X’i bulmamız gerekiyor.
2. İlk Harcamanın Hesaplanması (1/4)
- Toplam para: X TL.
- İlk olarak harcanan miktar:\frac{1}{4} \times X = \frac{X}{4}
- İlk harcamadan sonra elde kalan para:X - \frac{X}{4} = \frac{3X}{4}
Yani Ahmet, parasının dörtte birini harcadıktan sonra, parasının 3/4’lük kısmını elinde tutar.
3. İkinci Harcamanın Hesaplanması (2/3)
-
Artık elimizde 3X/4 TL vardır.
-
İkinci harcamada, geriye kalan bu miktarın 2/3’ü harcanır:
\frac{2}{3} \; \text{(kalanın)} = \frac{2}{3} \times \frac{3X}{4} = \frac{2 \times 3X}{3 \times 4} = \frac{6X}{12} = \frac{X}{2} -
Bu ikinci harcamadan sonra geriye kalan tutar ise, ilk harcamadan sonra var olan 3X/4’ten X/2’yi çıkarmakla bulunur:
\frac{3X}{4} - \frac{X}{2}Burayı basitçe ortak paydalı hale getirelim:
- \frac{3X}{4} = \frac{6X}{8}
- \frac{X}{2} = \frac{4X}{8}
Dolayısıyla:
\frac{6X}{8} - \frac{4X}{8} = \frac{2X}{8} = \frac{X}{4}
Sonuç olarak ikinci harcamadan sonra Ahmet’in elinde X/4 TL kalır.
4. Son Kalan Paranın 150 TL Olduğunun Kullanılması
Soruda, bu aşamada Ahmet’in elinde kalan miktarın 150 TL olduğu verilmektedir. Dolayısıyla denklemimizi şu şekilde kurabiliriz:
Buradan X’i bulmak için her iki tarafı 4 ile çarparız:
Bu işlem, Ahmet’in başlangıçtaki parasının 600 TL olduğunu gösterir.
5. Bulunan Değeri Doğrulama
Doğruluk kontrolü yapmak, hatasız bir sonuca ulaştığımızı garantilemek için faydalı bir adımdır. Ahmet’in başlangıçta 600 TL’si olduğunu varsayalım:
-
Parasının 1/4’ünü harcar:
- Harcanan: 600 \times \frac{1}{4} = 150 TL
- Kalan: 600 - 150 = 450 TL
-
Kalan paranın 2/3’ünü harcar:
- Harcanan: 450 \times \frac{2}{3} = 300 TL
- Kalan: 450 - 300 = 150 TL
Soruda belirtildiği gibi, harcamalar sonucunda 150 TL kalmıştır. Bu, problem verileriyle tam bir uyum içerisindedir.
6. Kesir Problemlerinde Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar
- Önce Kalan Miktarı Belirleme: İlk harcamayı uyguladıktan sonra mutlaka kalan miktarı hesaplamalı, ikinci (ya da devam eden) harcamaları bu yeni miktar üzerinden gerçekleştirmeliyiz.
- Sıralama: Kesirli problemlerde, harcama sırasının değişmesi sonuçları farklılaştırabilir. Bu yüzden, hangi işlemin önce hangi parça üzerinden yapıldığını ihmal etmemek önemlidir.
- Ortak Payda Kullanımı: Kesirleri çıkartma ya da toplama yaparken en verimli yol, paydaları eşitlemek ve sadeleştirme yaparak işlemleri basitleştirmektir.
- Doğrulama / Geriye Dönük Kontrol: Elde ettiğiniz sonucu, verileri baştan koyarak bir test uygulayın. Sorudaki tüm koşullarla uyuşan bir sonuç, doğru cevaba ulaşmış olduğunuzu gösterir.
7. Örnek Tablo ile Özet
Aşağıdaki tablo, soruyu özetleyen önemli verileri ve aşamaları göstermektedir:
| Adım | İşlem Yapılan Tutar | İşlemin Matematiksel İfadesi | Sonuç (Kalan Para) |
|---|---|---|---|
| 1. Başlangıç | Toplam para (X) | - | X |
| 2. İlk harcama (1/4’ü) | X/4 | Harcanan: X/4 | X - X/4 = 3X/4 |
| 3. İkinci harcama (kalanın 2/3’ü) | (3X/4) × (2/3) = X/2 | Harcanan: X/2 | 3X/4 - X/2 = X/4 |
| 4. Son Kalan | 150 TL (problem verisi) | x/4 = 150 | X = 600 |
| 5. Sonuç | - | 600 TL | - |
Bu tablo sayesinde, adım adım ne kadar harcandığı ve geriye ne kadar kaldığı net şekilde görülebilir.
8. Matematiksel Olarak Önemli Detaylar
- Harcama işlemini kesir cinsinden yapmak, gerçek hayatta da sık karşılaşacağımız pratik bir durumdur (örneğin, bir malın önce belli bir oranını satma, kalanını paylaşma vb.).
- Kesirler ve parça parça harcama örnekleriyle, kesir çarpımı, toplamı ve çıkarılması konuları pekişir.
- Sorunun sonunda, X = 600 TL bulunmasıyla birlikte, gerçek yaşam doğrulaması da yapılabilir ve uyumlu olduğu gösterilir.
9. Sonuç
Yukarıdaki tüm aşamalar ve doğruluk kontrolü göz önünde bulundurulduğunda, Ahmet’in toplam parasının 600 TL olduğunu kesin olarak söyleyebiliriz. Adımların tamamen mantıklı bir dizilim izlemesi, aritmetik işlemlerde yapılması gereken kesir manipülasyonlarının doğru uygulanması, sonuçla ilgili herhangi bir şüphe bırakmamaktadır.
Özetle:
- Başlangıç parası: X
- Birinci harcama: X/4
- Kalan: 3X/4
- İkinci harcama: 2/3 × (3X/4) = X/2
- Kalan: 3X/4 − X/2 = X/4
- X/4 = 150 → X = 600
Böylece, bu problem çerçevesinde Ahmet’in başlangıçtaki parasının 600 TL olduğunu tam bir özgüvenle dile getirebiliriz.