Soru: Ahmet parasının önce ¼’ünü, sonra ⅔’sini harcamıştır. Ahmet’in geriye 150 TL parası kalmıştır. Buna göre Ahmet’in toplam parasının kaç Türk lirası olduğunu bulunuz. İşlemlerinizi gösteriniz. (10 puan)
Problemin Adım Adım Çözümü
Bu problemde Ahmet’in başlangıçtaki toplam parasını x olarak kabul ediyoruz. Ardından bize verilen işlemleri sırayla uygulayıp elimizde kalan para miktarını 150 TL olarak eşitleyerek x değerini bulacağız. Aşağıda her adımı detaylı bir şekilde inceleyebilirsiniz.
1. Ahmet’in Parasının ¼’ünü Harcaması
- Ahmet toplam parasının $\frac{1}{4}$’ünü harcıyor.
- Eğer başlangıçta Ahmet’in toplam parası x TL ise harcanan tutar \frac{1}{4}x TL’dir.
- Bu durumda geriye kalan para miktarı:x - \frac{1}{4}x = \frac{3}{4}x
- Yani ilk harcamadan sonra Ahmet’in elinde \frac{3}{4}x TL kalmıştır.
2. Kalan Paranın ⅔’sini Harcaması
- İlk harcamadan sonra elinde \frac{3}{4}x TL kalmıştı.
- Bu miktarın $\frac{2}{3}$’ünü harcadığında, ne kadar para harcanmış olur?\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}x = \frac{2 \times 3}{3 \times 4} x = \frac{6}{12}x = \frac{1}{2}x
- Dolayısıyla ikinci aşamada harcanan tutar \frac{1}{2}x TL’dir.
- Kalan para ise, ilk aşamadan kalan miktar $\frac{3}{4}x$’den bu harcanan $\frac{1}{2}x$’i çıkararak bulunur:\frac{3}{4}x - \frac{1}{2}x = \frac{3}{4}x - \frac{2}{4}x = \frac{1}{4}x
- Yani ikinci harcamadan sonra Ahmet’in elinde \frac{1}{4}x TL para kalmıştır.
3. Son Kalan Para = 150 TL
- Soru bize, tüm bu harcamalardan sonra Ahmet’in elinde 150 TL kaldığını söylüyor.
- Bu bilgiye göre ikinci adımdaki “kalan para” ifadesi 150 TL’ye eşittir:\frac{1}{4}x = 150
- Her iki tarafı 4 ile çarptığımızda toplam para x elde edilir:x = 150 \times 4 = 600
4. Sonuç
- Ahmet’in başlangıçtaki toplam parası 600 TL’dir.
- İşlemleri özetleyecek olursak:
- Toplam paranın ¼’ü harcandı, ¾’ü kaldı.
- Bu ¾’ün de ⅔’si harcandı, geriye ¼’ü kaldı.
- Kalan para 150 TL olduğuna göre, ¼’ü 150 TL ise toplam para 600 TL’dir.
Detaylı Açıklama ve Ek Bilgiler
Bu tür sorularda en önemli nokta, hangi işlemin sırasıyla yapıldığını takip edebilmektir. Pek çok öğrenci, “toplamın ⅔’sini harcamak” ile “kalan paranın ⅔’sini harcamak” arasında kafa karışıklığı yaşayabilir. Soruda “kalan paranın ⅔’si” belirtildiği için önce toplamın ¼’ü çıktığında elde edilen yeni miktarı esas almalıyız. Daha sonra onun ⅔’si harcanır. Böylece problemde bahsi geçen her adım doğru sırayla uygulanmış olur.
Ayrıca bu tür sorularda kesir işlemlerini dikkatli takip etmek gerekir. Paranın ¼’ünü harcama, ardından kalan miktarın ⅔’sini harcama gibi ifadelerin her biri, çarpmayla ifade edilir. Harcanan miktarlar ya da elde kalan miktarlar arasındaki ilişkiyi doğru kurunca sorunun çözümü kolayca bulunur.
Örneğin, ilk aşamada harcanan tutarı (\frac{1}{4}x) doğru bulup, geriye (\frac{3}{4}x) kaldığını vurguladıktan sonra, ikinci aşamada harcanan tutarı (\frac{3}{4}x \times \frac{2}{3}) hesaplarız. Bu, $(\frac{3}{4}x) \cdot (\frac{2}{3}) = \frac{6}{12}x = \frac{1}{2}x$’e denk gelir. Geriye kalan para ise (\frac{3}{4}x) - (\frac{1}{2}x) = \frac{1}{4}x. Kalan bu miktar, soruda 150 TL diye verildiği için denklem kurup x=600 TL sonucuna ulaşırız.
Buna ek olarak, matematiksel işlemleri anlatırken her adımı net biçimde göstermek, hata payını büyük ölçüde azaltır. Gerekli görüldüğünde kesirleri sadeleştirmek, problemi daha anlaşılır hale getirir. Daha karmaşık problemlerle karşılaşıldığında da bu yöntemi kullanarak adım adım ilerlemek işleri kolaylaştırır.
Hesaplamaların Tablo ile Gösterimi
Aşağıdaki tabloda, her adımda yapılan işlemi ve kalan parayı adım adım özet halinde görebilirsiniz:
| Adım | Yapılan İşlem | Matematiksel Gösterim | Kalan Para |
|---|---|---|---|
| 1 | Toplam paranın ¼’ü harcanıyor | Harcanan: \frac{1}{4}x | \frac{3}{4}x |
| 2 | Kalan paranın ⅔’si harcanıyor | Harcanan: \frac{2}{3} \times \frac{3}{4}x = \frac{1}{2}x | \frac{3}{4}x - \frac{1}{2}x = \frac{1}{4}x |
| 3 | Son kalan para 150 TL olarak veriliyor | \frac{1}{4}x = 150 | x = 600 TL |
Tabloda da görüldüğü gibi, son adımda elinde \frac{1}{4}x kalan Ahmet’in bu miktarı 150 TL’ye eşit olduğu için, x değerimizi 600 TL bulmuş oluyoruz.
Cevap: Ahmet’in toplam parası 600 TL’dir.
Teşekkürler @Nimet_ecem_Mekis