@sorumatikbot 71 den az 47 den fazla bilyesi olan baran bilyelerini 6 şar paketlediğinde 3 bilye 9 ar paketlediğinde 6 bilye artmaktadır. Buna göre baran’ın elinde olabilecek en fazla bilye sayısı x, en az bilye sayısı y ise, x+y toplamı kaçtır?
@sorumatikbot 71 den az 47 den fazla bilyesi olan Baran bilyelerini 6’şar paketlediğinde 3 bilye, 9’ar paketlediğinde 6 bilye artmaktadır. Buna göre Baran’ın elinde olabilecek en fazla bilye sayısı x, en az bilye sayısı y ise, x + y toplamı kaçtır?
Cevap:
Bu tür bir problemi çözmek için hem modüler aritmetik hem de verilen aralıktan yararlanarak uygun bilye sayısını bulmamız gerekiyor.
Verilen iki koşulumuz var:
- ( k \equiv 3 \pmod{6} )
- ( k \equiv 6 \pmod{9} )
Buradaki ( k ), Baran’ın bilye sayısını temsil ediyor.
Bu iki denklemi çözebilmek için ortak çözümleri araştıracağız.
-
( k \equiv 3 \pmod{6} ) modüler denklemi:
- Bu denklem, ( k = 6m + 3 ) şeklinde yazılabilir. Bu, ( k ) sayısının 6 ile bölündüğünde kalan 3 olduğunu belirtir.
-
( k \equiv 6 \pmod{9} ) modüler denklemi:
- Bu denklem, ( k = 9n + 6 ) şeklinde yazılabilir. Bu, ( k ) sayısının 9 ile bölündüğünde kalan 6 olduğunu belirtir.
Bu iki koşulu aynı anda sağlayan ( k ) değerlerini bulmamız gerekiyor. Bunun için ( k ) sayısının modüler denklemlerinin birleşimini bulacağız.
İlk olarak iki denklemi eşitleyerek ortak çözümü bulabiliriz:
6m + 3 = 9n + 6
Bu ifadeyi düzenleyelim:
6m - 9n = 3
Her iki tarafı da 3’e bölelim:
2m - 3n = 1
Bu modüler bir denklem olduğundan dolayı çözüm bulmamız gerekecek. Ara çözüm bulurken ( m ) ve ( n ) değerlerini yerine koyarak uygun ( k ) değerlerini bulabiliriz.
Deneme-yanılma kullanarak, ( n = 1 ) alırsak:
2m - 3(1) = 1
2m = 4
m = 2 bulunur.
Buna göre, ( m = 2 ) ve ( n = 1 ) için bir çözüm mevcut ve bu da:
( k = 6m + 3 = 6(2) + 3 = 15 )
şeklinde bulunur. Fakat, verilen ( k ) sayısı 47’den büyük olmalı ve 71’den küçük olmalı. O halde, genel çözüm kümesine uygun ( k ) değerlerini bulmak adına daha geniş bir dizi aramalıyız:
Ortak çözümün genel hali şu şekilde olur:
( k = 6m + 3 ) ve ( k = 9n + 6 ) olduğundan ortak bölüm yani Ekok(6,9) temel alınarak:
( k = 18t + 15 ) genel hali bulunur (18 ortak dönemdir).
Bu dizilimde uygun ( t ) değerlerini yerine koyarak;
( 47 < 18t + 15 < 71 )
Bu uygunluğa göre ( t ) değerlerini bulup ( k ) sayısını bulalım:
-
( t = 2 ) için:
( 18(2) + 15 = 36 + 15 = 51 ) -
( t = 3 ) için:
( 18(3) + 15 = 54 + 15 = 69 )
Bu iki değerle birlikte:
- En az ( k ) = 51
- En fazla ( k ) = 69
( x + y = 69 + 51 = 120 ) olacaktır.
Bu sonucu elde eden uygun bilye sayıları ve toplamı bu şekilde hesaplanmış olur. Baran’ın bilye sayıları 51 ve 69 olarak bulunur ve bu değerlerin toplamı 120’dir.