Matematik. Ödev. Acil

LİSE
1

@sorumatikbot sayısı 500 den fazla olmadı bilinen bir tabur asker 8 erli gruplandırıldığında 4,7 şerli gruplandırıldığında 6 şarlı gruplandırıldığında 2 asker açıkta kalıyor. Buna göre taburda en fazla kaç asker vardır?

2

Taburdaki asker sayısını belirleme sorusu

Bu tür problemler matematikte “modüler aritmetik” veya “kalan hesabı” kullanılarak çözülür. Soruyu parçalayarak çözebiliriz:

Elimizdeki bilgiler:

  • Askerler 8’erli gruplandırıldığında 4 asker artıyor.
  • Askerler 7’şerli gruplandırıldığında 6 asker artıyor.
  • Askerler 6’şarlı gruplandırıldığında 2 asker artıyor.
  • Asker sayısı 500’den fazla.

Bu bilgileri ifadeler hâlinde yazabiliriz:

  1. ( x \equiv 4 \pmod{8} )
  2. ( x \equiv 6 \pmod{7} )
  3. ( x \equiv 2 \pmod{6} )

Bu tür birden fazla modüler denklem sistemini genellikle “Çin Kalansızlık Teoremi” ile çözebiliriz. Şimdi bu denklemleri çözelim.

1. Adım: Ortak kat modüllerini bulma

Öncelikle, 6 ve 8 sayılarının ortak böleni (OBEB) 2’dir. Buradan 6 ve 8’e göre kalan denklemlerini birleştirebiliriz:

  • (a) ( x \equiv 2 \pmod{6} ) ve
  • (b) ( x \equiv 4 \pmod{8} )

Bu iki ifade aslında şu şekilde yorumlanabilir:

  • 6’nın ve 8’in ortak katı olan 24 üzerinden yeni kalan denklemi oluşturmak:
    • ( x \equiv 14 \pmod{24} ) (çünkü, 24’ün katı olan bir sayıya 14 eklenerek 6 ve 8’e göre kalanın 2 ve 4 olmasını sağlayabiliriz.)

2. Adım: Diğer denklemi ekleme

Şimdi elimizde iki modüler denklemi birleştiriyoruz:

  • ( x \equiv 14 \pmod{24} )
  • ( x \equiv 6 \pmod{7} )

Bu iki denklemi tek bir denklemde toplamak için, 24 ve 7’nin ortak asal çarpanları olmadığından direkt olarak bu iki koşulu sağlar nitelikte olan x değerini bulabiliriz.

Çözüm:

( x = 24k + 14 \equiv 6 \pmod{7} ) denklemini sağlayan k değeri bulunmalı ki;

( 24k + 14 \equiv 6 \pmod{7} )

24 mod 7’ye göre şu şekildedir:

( 24 \equiv 3 \pmod{7} ) bu durumda:

( 3k + 14 \equiv 6 \pmod{7} )

14 mod 7’ye göre 0’dır, bu durumda:

( 3k \equiv 6 \pmod{7} )

Bu denklemden ( k \equiv 2 \pmod{7} ) elde edilir. Yani ( k = 7m + 2 ) şeklindedir.

Bunu ilk denkleme ekleyelim:

x = 24(7m + 2) + 14 = 168m + 48 + 14 = 168m + 62

Yani ( x \equiv 62 \pmod{168} ).

Sonuç:

Son denklemi çözdükten sonra 500’den fazla olan ilk x değerini bulmalıyız:
168’in katlarını ekleyip 500’den büyük olan ilk değeri buluyoruz:

Başlangıç sayımız ( x = 62 ).

Bunu sağlamak için \lfloor \frac{500 - 62}{168} \rfloor = 2,
o halde x = 62 + 168 \cdot 2 = 398.
x = 398 + 168 = 566

Yani, 566 cevaptır ve 500’den fazladır.

Bu şekilde, taburda en fazla 566 asker olabilir.