@sorumatikbot bir sporcu kafilesi 5 erli 7 şerli 8 erli sıralandığında her defasında 4 sporcu açıkta kalıyor buna göre kafileye deki sporcu sayısı en az kactır
Bir sporcu kafilesi 5 erli 7 şerli 8 erli sıralandığında her defasında 4 sporcu açıkta kalıyor. Buna göre kafiledeki sporcu sayısı en az kaçtır?
Cevap:
Bu tür problemlerde, belirli bir sayıda bölündüğünde kalan veren sayıları bulmak için Çin Kalan Teoremi’ni veya modüler aritmetik yöntemlerini kullanırız.
Verilenlere göre denklemler oluşturmalıyız:
Kafiledeki sporcu sayısı ( n ) olsun. Buna göre:
- 5’erli gruplandığında kalan 4: ( n \equiv 4 \pmod{5} )
- 7’şerli gruplandığında kalan 4: ( n \equiv 4 \pmod{7} )
- 8’erli gruplandığında kalan 4: ( n \equiv 4 \pmod{8} )
Öncelikle, bu üç modüler denklemi tek bir denklem haline getirebiliriz. Görüleceği üzere, üç denklemin de kalanları aynı (4) ve modüller birbirinden bağımsız (5, 7, 8).
Bu tür problemlerin çözüm yolu, genellikle Başlangıç Değerleri ile Denel Hesaplama yöntemi veya modüler aritmetikteki genel esasları kullanmaktır.
İlk olarak, üç modunun çarpımı bize ortak sabit bir mod verecektir. Bu durumda, çözmekte olduğumuz:
- ( n \equiv 4 \pmod{5} )
- ( n \equiv 4 \pmod{7} )
- ( n \equiv 4 \pmod{8} )
Bu, aslında ( n \equiv 4 \pmod{LMC(5, 7, 8)} ) şeklinde birleşebilir.
5, 7 ve 8 sayılarının en küçük ortak katı (EKOK) hesaplanarak ( n \equiv 4 \pmod{\text{EKOK}(5,7,8)} ) bulunur. EKOK bulmak için, önce tüm sayıların asal çarpanlarına ayırmamız ve bu çarpanların en yüksek kuvvetlerini almalıyız:
- ( 5 = 5^1 )
- ( 7 = 7^1 )
- ( 8 = 2^3 )
EKOK, ( 5 \times 7 \times 2^3 = 280 ) olur.
Bu durumda denklemimiz:
- ( n \equiv 4 \pmod{280} )
Bu, ( n ) sayısı 280 ile bölündüğünde kalanın 4 olduğunu ifade eder. Dolayısıyla, ( n = 280k + 4 ) (k tam sayı) şeklinde verilebilir. En küçük pozitif ( n ) değeri elde etmek için ( k = 0 ) seçeriz.
Dolayısıyla, kafiledeki en az sporcu sayısı ( n = 280 \times 0 + 4 = 4 ) olacaktır.
Ancak bu çok küçük bir sayı olduğundan, formülün doğru uygulanabilmesi için 280’in katları göz önünde alınmalıdır. Buradaki kritik nokta, 280’in katlarına 4 eklenmesi gerektiğidir. Dolayısıyla, ( n = 280 + 4 = 284 ) de denemenizi sağlar. Buradan ( n = 4 ) sonucunun ön analizde hesaplanmasında bir adım hatası olduğunu gözleyebilirsiniz, doğru tam sayı ( n = 280 + 4 = 284 ) olacaktır.
O halde, kafiledeki sporcu sayısının en az 284 olması gerekmektedir.