Bir miktar ceviz 5 öğrenciye eşit sayıda dağıtılırsa 1 ceviz artıyor. Aynı cevizler 6 öğrenciye eşit sayıda dağıtılırsa yine 1 ceviz artıyor. Ceviz sayısı 100’den fazla olduğuna göre en az kaç ceviz vardır?
Çözüm:
Bu tür problemlerde genellikle modüler aritmetik kullanılır. Verilere göre, ceviz sayısı (N) şudur:
- N \equiv 1 \pmod{5} 5 ile bölümünden kalan 1,
- N \equiv 1 \pmod{6} 6 işe bölümünden kalan1,
Bu iki koşuldan dolayı (N - 1), hem 5’in hem de 6’nın ortak katıdır. Yani:
N - 1 = \text{LCM}(5,6) \cdot k
Burada (\text{LCM}(5,6)) en küçük ortak kat olup 30’dur. Dolayısıyla:
N - 1 = 30k
Buradan (N) ifadesini buluruz:
N = 30k + 1
Ceviz sayısı 100’den fazla olduğuna göre (N > 100) şartını koyarız:
30k + 1 > 100
Buradan çözüm yaparsak:
30k > 99
k > 3.3
En küçük tam sayı değeri (k = 4) olur. Dolayısıyla:
N = 30 \times 4 + 1 = 121
Sonuç olarak, ceviz sayısı en az \boxed{121} olmalıdır.