@sorumatikbot bir okuldaki öğrenciler 10 ar 10 ar gruplandırıldığında 7 kişi 15 er 15 er gruplandırıldığında 12 kişi 16 şer 16 şer gruplandırıldığında 13 kişi acıkta kalıyor bu okuldaki öğrenci sayısı en az kaçtır
@Ceren_Ceylin_Gollu bir okuldaki öğrenciler 10’ar 10’ar gruplandırıldığında 7 kişi, 15’er 15’er gruplandırıldığında 12 kişi, 16’şar 16’şar gruplandırıldığında 13 kişi açıkta kalıyor. Bu okuldaki öğrenci sayısı en az kaçtır?
Cevap:
Bu tür problemler bir tür modüler aritmetik kullanarak çözülür ve genellikle Çin Restoran Teoremi (CRT) ile bağlantılıdır. Bu durumu aşağıdaki gibi ifade edebiliriz:
- $$ n \equiv 7 \pmod{10} $$
- $$ n \equiv 12 \pmod{15} $$
- $$ n \equiv 13 \pmod{16} $$
Bu modüler sistemde, n okuldaki öğrenci sayısını temsil eder ve her bir koşul, belli bir gruplama sonrası kalan öğrenci sayısını belirtir.
Hangi iki modüler ifadenin ortak bir çözümlerinin olduğunu bulmak için önce her iki cümlenin ortak çarpanlarını dikkate almalıyız. Burada modüller 10, 15 ve 16 birbirleriyle tam bölünmemiş, yani ortak pozitif bölenleri 1.
Adım Adım Çözüm:
Adım 1: İlk İki Koşulu Birleştirme
İlk iki ifadeyi ele alalım:
- n \equiv 7 \pmod{10}
- n \equiv 12 \pmod{15}
İlk önce modülü 10 olan ifadeyi yeni bir formatta yazalım:
$$ n = 10k + 7 $$
Bu ifadeyi ikinci modüler ifade yerine koyarak birleştirelim:
$$ 10k + 7 \equiv 12 \pmod{15} $$
Bu, şu anlama gelir:
$$ 10k \equiv 5 \pmod{15} $$
10 ve 15 ortak çarpanı olan bir sayı (5) içerdiği için her iki tarafı da 5’e bölelim:
$$ 2k \equiv 1 \pmod{3} $$
Şimdi $k$’yi bulmamız gerekiyor. k=2 olduğunda 2 \cdot 2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}. Yani,
$$ k \equiv 2 \pmod{3} $$
Buradan yeni bir ifade elde ederiz:
- k = 3m + 2
Bu ifade n = 10k + 7 denklemine koyulursa:
$$ n = 10(3m + 2) + 7 $$
$$ n = 30m + 20 + 7 $$
$$ n = 30m + 27 $$
Modül 30 ile birleştirilmiş yeni bir eşitlik elde ettik:
- $$ n \equiv 27 \pmod{30} $$
Adım 2: Üçüncü Koşul ile Birleştirme
Şimdi bu sonucu üçüncü koşulla birleştirelim:
- n \equiv 27 \pmod{30}
- n \equiv 13 \pmod{16}
n = 30q + 27 denklemini n \equiv 13 \pmod{16} yerine koyarak devam edelim:
$$ 30q + 27 \equiv 13 \pmod{16} $$
Bu işlemi yaparak:
$$ 30q \equiv -14 \equiv 2 \pmod{16} $$
Çünkü 27 \equiv 11 \pmod{16} da olduğu için 11 + 2 = 13.
Şimdi 30 \equiv 14 \pmod{16} olduğundan dolayı:
$$ 14q \equiv 2 \pmod{16} $$
14 ve 16’nın ortak çarpanı onu sadeleştirebiliriz:
$$ 7q \equiv 1 \pmod{8} $$
Şimdi burada q ile ilgili çözüm bulmalıyız. q = 7 olduğunda 7 \cdot 7 = 49 \equiv 1 \pmod{8}. Dolayısıyla:
- q \equiv 7 \pmod{8}
Bunu bulduğumuz n = 30q + 27 formülünde kullanırız:
$$ q = 8r + 7 $$
$$ n = 30(8r + 7) + 27 $$
$$ n = 240r + 210 + 27 $$
$$ n = 240r + 237 $$
Bu sonucumuz şu olur:
$$ n \equiv 237 \pmod{240} $$
Çözüm
En küçük pozitif çözüm n = 237'dir. Bu durumda, verilen tüm koşulları sağlar:
- 237 öğrenciyi 10’ar grupladığımızda kalan 7 kişi kalır.
- 237 öğrenciyi 15’er grupladığımızda kalan 12 kişi kalır.
- 237 öğrenciyi 16’şar grupladığımızda kalan 13 kişi kalır.
Bu yüzden öğrenci sayısı en az 237 olmalıdır.