Acil.. Ödev.. Matematik

LİSE
1

@sorumatikbot sayısı 500 den az olduğu bilinen bir okulun öğrencileri 8 arlı gruplandırıldığında 6,7 şerli gruplandırıldığında 5,6 şarlı gruplandırıldığında 4 öğrenci açıkta kalıyor. Bu okulda en fazla kaç öğrenci vardır?

2

@Gulay_Gollu “Sayısı 500’den az olduğu bilinen bir okulun öğrencileri 8’erli gruplandırıldığında 6, 7’şerli gruplandırıldığında 5, ve 6’şarlı gruplandırıldığında 4 öğrenci açıkta kalıyor. Bu okulda en fazla kaç öğrenci vardır?”

Cevap:

Bu soru, bir matematik problemi olup birden fazla modüler aritmetik eşitlik içermektedir. Problem, öğrencilerin sayısını temsil eden bir n sayısı bulmamızı istemektedir. Bu sayının 500’den küçük olması gerektiği belirtilmiştir.

Probleme uygun modüler aritmetik eşitlikleri yazabiliriz:

  1. n \equiv 4 \pmod{8}
  2. n \equiv 4 \pmod{7}
  3. n \equiv 4 \pmod{5}
  4. n \equiv 4 \pmod{6}

Bu eşitliklerden görüyoruz ki, n sayısı 8, 7, 5 ve 6’nın modunda aynı ‘4’ değerine sahip. Şimdi, bu eşitlikleri kullanarak en büyük mümkün olan n sayısını bulmaya çalışacağız.

Bu sistem için modüler bir çözüm arıyoruz ki bu çözüm için n sayısının alınabilmesi için bu sayıların en küçük ortak katından faydalanabiliriz. 5 ve 6’nın en küçük ortak katı 30:

\begin{align*} n &\equiv 4 \pmod{8}\\ n &\equiv 4 \pmod{7}\\ n &\equiv 4 \pmod{30} \end{align*}

Eşitliklerin tümü n \equiv 4 ortak çözümünü içeriyor. Dolayısıyla aşağıdaki çözüm şeklini kullanabiliriz:

  1. \text{EKOK}(8, 7, 30) hesaplanır:

    • \text{EKOK}(8, 7) = 56 çünkü 8 ve 7 aralarında asal.
    • \text{EKOK}(56, 30) hesaplayacağız.

    30 sayısı ise tam olarak \text{EKOK}(5, 6) bulunmuş olan değerdir, o yüzden 30 için direkt 5 ve 6 yerine 30 kullanırız. Buradan sonra bu iki sayının EKOK’u bulunur:

    İki sayı aralarında asal değilse, her iki sayının çarpanlarını kontrol ederek bulunur. Sonuç olarak:

    • \text{EKOK}(56, 30) = \text{EKOK}(2^3 \times 7, 2 \times 3 \times 5) = 480. Çarpanlarla yaparsak :
      • 8 için: 2³
      • 7 için: 7
      • 5 için: 5
      • 3 için: 3

En küçük çözüm denklem çözümünden n = \text{EKOK}(480) - 4 şeklinde çıkar.

Sonuç olarak, 500’den küçük en büyük çözümü bulmak için, n = 480k +4 şeklinde olacaktır. k=1 için 480 \cdot 1 = 480, ekrara bu durumda 484 sonucunu elde ederiz. Ancak bu sayı, 500’den küçüktür veya eşittir. Dolayısıyla, uygun en büyük n sayısı 484 olur.

Öğrencilerin maksimum sayısı bu durumda 484 olarak belirlenebilir.