Mat333ematik

YKS TYT YKS Edebiyat
1

İsmail bilyelerini 15 ve 8li gruplara ayırdığında her defasında 2 bilye aliyor ismailin bilyelerinin saysini 100den fazla olduguna gore en az kaç tanedir

2

İsmail bilyelerini 15 ve 8’li gruplara ayırdığında her defasında 2 bilye artıyor. İsmail’in bilyelerinin sayısı 100’den fazla olduğuna göre, en az kaç tanedir?

Cevap:
İsmail’in bilye sayısını bulmak için, verilen bilgiyi cebirsel bir eşitlik haline getirelim. İsmail’in N kadar bilyesi olsun.

  1. Verilen Bilgileri Eşitlik Haline Getirin:

    • İsmail, bilyeleri 15’li gruplara ayırdığında her defasında 2 bilye artıyor:
      N \equiv 2 \pmod{15}
    • İsmail, bilyeleri 8’li gruplara ayırdığında her defasında 2 bilye artıyor:
      N \equiv 2 \pmod{8}

  2. Eşitlikleri Çözelim:

    • İlk eşitliği yazalım:
      N = 15k + 2 \quad \text{(k, bir tam sayı)}
    • Bu ifadeyi ikinci eşitlikte yerine koyarak çözelim:
      15k + 2 \equiv 2 \pmod{8} \quad \text{(Here, by cancelling out the +2 on both sides)}
    • Bunu sadeleştirdiğimizde:
      15k \equiv 0 \pmod{8}
    • 15 ve 8’in mod 8’de işlenmesi önemlidir. 15 ile 8’in bölünmesi şöyledir:
      15 \equiv 7 \pmod{8}
    • Yani:
      7k \equiv 0 \pmod{8}
    • 7 ile hangi sayı çarpıldığında 8 ile tam bölüneceğini bulmamız gerekmektedir:
      7k = 8m
    • Burada k en küçük olarak 8 olabilir çünkü 7 ile tam sayıyı elde ederek kullanmaya devam ederiz:
      k = 8n

  3. N’in Kesinine Çözümü:

    • Bu durumda bilye sayısı olur:
      N = 15k + 2 \rightarrow N = 15(8n) + 2 = 120n + 2

  4. 100’den Büyük En Küçük N’i Bulun:

    • 100 < 120n + 2

      100 < 120n + 2
      98 < 120n
      \frac{98}{120} < n
      n > 0.8167

    • Bu nedenle, n’nin en küçük tam sayısı 1’dir. Demek ki:

      n = 1

    • En küçük N:

      N = 120*1 + 2 = 122

Sonuç: İsmail’in bilye sayısı en az \boxed{122} olmalıdır.