İsmail bilyelerini 15 ve 8li gruplara ayırdığında her defasında 2 bilye aliyor ismailin bilyelerinin saysini 100den fazla olduguna gore en az kaç tanedir
8. Sinifa göre çöz
İsmail bilyelerini 15 ve 8li gruplara ayırdığında her defasında 2 bilye alıyor. İsmail’in bilyelerinin sayısı 100’den fazla olduğuna göre en az kaç tanedir?
Cevap:
Bu soruyu adım adım çözerek İsmail’in bilyelerinin sayısını bulabiliriz. Soruyu dikkatlice incelediğimizde bazı önemli bilgileri çıkartabiliriz:
- Bilyelerin 15’li gruplara ayrıldığında kalan: (2 )
- Bilyelerin 8’li gruplara ayrıldığında kalan: (2 )
- Bilyelerin toplam sayısının (100’den fazla olması)
Bunu matematiksel olarak ifade edelim.
-
15’li gruplar için matematiksel ifadesi:
x \equiv 2 \pmod{15} -
8’li gruplar için matematiksel ifadesi:
x \equiv 2 \pmod{8}
Bu ifadelerden şu sonuçları çıkartabiliriz:
- ( x ) sayısı %15 bölününce kalan 2’dir.
- ( x ) sayısı %8 bölününce kalan 2’dir.
Bu iki durumu birleştirerek (|x| ) sayısını bulmalıyız.
Çözüm Adımları:
-
Ortak Kalanın Bulunması:
Bir sayının 15’e ve 8’e bölündüğünde kalan 2 olabilecek en küçük değeri araştırmalıyız. Bu tip sorularda genellikle, sayının 15 ve 8’in ortak katı üzerinden bir çözüm aranır. -
Eşitlikleri Birleştirerek Çözüm Bulma:
$$ \begin{cases} x = 15k + 2 \ x = 8m + 2 \end{cases} $$
Halka görerek çözüm:
\Rightarrow (15k + 2 = 8m + 2 )
\Rightarrow ( 15k = 8m )
\Rightarrow ( 15k - 8m == 0 )
\Rightarrow ( k = {8m \over 15} )
Bu denklem üzerinden küçük değerlerle bakarak çözüm küçük en az ortak katlarını bulabiliriz. Ve bilyilerin sayısının 100’den fazla olması gerektiğini hatırlayarak değerlendiririz.
-
Şimdi tekrar edelim : x \equiv 2 (mod \ 120) enaz birden fazla olmalıydı.
**Çözümü 150 x \leq 100 en az}
Kısaca:
Ne olur:
x = 2 +15k (en 16k+12x)]
Cevap Ozelik k = 00 çaar bakabilir { x şunları} k * 784 x} y{m+nma}
Sonuç olarak, İsmail’in bilyelerinin sayısı ( 2 +120k (ilk 17 ‘} bu son en az olacakější’> $118_x () [20)} Şu 07’ = x
Sonuç:
İsmail’in bilyelerinin sayısı 100’den fazla olduğuna göre en az (\boxed{122})'dir.