9. Soru: Ece bilyelerini beşerli sayınca 3 bilye, yedişerli sayınca 5 bilye artmaktadır. Ece’nin bilye sayısı 300 ile 500 arasında olduğuna göre, en az kaç bilyesi vardır?
Çözüm:
Ece’nin bilye sayısı olan ( x ) sayısının özelliklerini belirtilen şartlara göre inceleyeceğiz:
-
Ece’nin bilye sayısının 5’e bölümünden kalan 3:
- ( x \equiv 3 \pmod{5} )
-
Ece’nin bilye sayısının 7’ye bölümünden kalan 5:
- ( x \equiv 5 \pmod{7} )
Bu iki durumdan ortak bir çözüm bulmak için, bu iki eşitliği sağlayan en küçük ( x ) değerini bulmamız gerekiyor.
Adım 1: Kapsamlı Çözümleme
Öncelikle bu iki eşitliği birleştirerek çözmeye çalışalım:
Çin Remainder Teoremi kullanarak şu çözüm yolunu izleyebiliriz:
-
( x \equiv 3 \pmod{5} ) olması için ( x = 5k + 3 ) olacak şekilde yazabiliriz.
-
Bulduğumuz ( x = 5k + 3 ) ifadesini ikinci eşitlikte yerine koyalım:
[
5k + 3 \equiv 5 \pmod{7}
]Bu denklem şöyle sadeleşir:
[
5k + 3 \equiv 5 \Rightarrow 5k \equiv 2 \pmod{7}
]
Adım 2: Modüler Denemeler
5’in 7’ye göre tersini bulmamız gerekiyor. Bunun için modüler denemeler yaparak ilerleyelim:
- ( 5 \times 1 = 5 \equiv 5 \pmod{7} )
- ( 5 \times 2 = 10 \equiv 3 \pmod{7} )
- ( 5 \times 3 = 15 \equiv 1 \pmod{7} )
Buradan görüyoruz ki, 5’in tersi 3’tür çünkü ( 5 \times 3 \equiv 1 \pmod{7} ).
Şimdi denklemimizin üzerine tersi uygulayarak:
-
( 5k \equiv 2 \pmod{7} ) denkleminde her iki tarafı da 3 ile çarpalım:
[
15k \equiv 6 \Rightarrow k \equiv 6 \equiv 6 \pmod{7}
]
Yani ( k = 7m + 6 ) olacak şekilde yazabiliriz.
Adım 3: ( x ) Değerini Bulma
-
( x = 5k + 3) ifadesine geri dönelim:
[
x = 5(7m + 6) + 3 \Rightarrow x = 35m + 30 + 3 \Rightarrow x = 35m + 33
]
Burada ( x \equiv 33 \pmod{35} )
Adım 4: Sayı Aralığında Çözümü Bulma
( x ) değerinin 300 ile 500 arasında olduğu verilmişti. Şartımız:
[
300 \leq 35m + 33 \leq 500
]
Bu denklemi çözmek için iki eşitsizliği birbirinden ayıralım:
-
( 35m + 33 \geq 300 )
[
35m \geq 267 \Rightarrow m \geq \frac{267}{35} \approx 7.63
]Yani ( m \geq 8 ).
-
( 35m + 33 \leq 500 )
[
35m \leq 467 \Rightarrow m \leq \frac{467}{35} \approx 13.34
]Yani ( m \leq 13 ).
Bu aralıktan ( m = 8 ) için:
- ( x = 35 \times 8 + 33 = 280 + 33 = 313 )
Bu hesaplamalar sonucunda 313 Ece’nin bilye sayısı için en küçük değerdir. Bu durumda doğru cevap (\boxed{313}).