Ceviz sayısı 100’den fazla olduğuna göre en az kaç ceviz vardır?
Çözüm:
Verilen problemde, belirli bir ceviz sayısı 5 ve 6 öğrenciye dağıtıldığında kalanların aynı olduğu belirtiliyor. Bu durumu matematiksel olarak ifade edebiliriz.
Adımlar:
-
Eşitlik Kurulumu:
- Ceviz sayısını ( x ) olarak tanımlayalım.
- 5 öğrenciye dağıtıldığında kalan 1 olduğuna göre, ( x \equiv 1 \pmod{5} ).
- 6 öğrenciye dağıtıldığında kalan 1 olduğuna göre, ( x \equiv 1 \pmod{6} ).
-
Eşitlik Birleştirme:
- Bu iki koşuldan da ( x \equiv 1 ) olduğu anlaşılır. Dolayısıyla ( x ) sayısı hem 5’e hem de 6’ya bölündüğünde 1 kalanını verir.
- Bu durumda, ( x - 1 ) sayısı hem 5’e hem de 6’ya tam bölünebilir.
- Yani ( x - 1 ) sayısı, 5 ve 6’nın ortak katı olan 30’un katıdır: ( x - 1 = 30k ).
-
Sonuç:
- ( x = 30k + 1 ).
- ( x ) 100’den büyük olduğu için, ( 30k + 1 > 100 ).
- Buradan ( 30k > 99 ) olur, yani ( k > 3.3 ).
- Dolayısıyla, ( k = 4 ) olmalıdır (en küçük tam sayı).
-
Hesaplama:
- ( x = 30 \times 4 + 1 = 121 ).
Bu nedenle, ceviz sayısı en az 121’dir ve doğru cevap B) 121’dir.