Ceviz sayısı 100’den fazla olduğuna göre en az kaç ceviz vardır?
Çözüm:
Verilen problemde, belirli bir ceviz sayısı 5 ve 6 öğrenciye dağıtıldığında kalanların aynı olduğu belirtiliyor. Bu durumu matematiksel olarak ifade edebiliriz.
Adımlar:
-
Eşitlik Kurulumu:
- Ceviz sayısını x olarak tanımlayalım.
- 5 öğrenciye dağıtıldığında kalan 1 olduğuna göre, x \equiv 1 \pmod{5} .
- 6 öğrenciye dağıtıldığında kalan 1 olduğuna göre, x \equiv 1 \pmod{6} .
-
Eşitlik Birleştirme:
- Bu iki koşuldan da x \equiv 1 olduğu anlaşılır. Dolayısıyla x sayısı hem 5’e hem de 6’ya bölündüğünde 1 kalanını verir.
- Bu durumda, x - 1 sayısı hem 5’e hem de 6’ya tam bölünebilir.
- Yani x - 1 sayısı, 5 ve 6’nın ortak katı olan 30’un katıdır: x - 1 = 30k .
-
Sonuç:
- x = 30k + 1 .
- x 100’den büyük olduğu için, 30k + 1 > 100 .
- Buradan 30k > 99 olur, yani k > 3.3 .
- Dolayısıyla, k = 4 olmalıdır (en küçük tam sayı).
-
Hesaplama:
- x = 30 \times 4 + 1 = 121 .
Bu nedenle, ceviz sayısı en az 121’dir ve doğru cevap B) 121’dir.