Mat soruları ve cevapları

LGS
1

Ayşe teyze cevizlerini altışar ve dokuzar sayısını her seferinde 2 cevizi artıyor

a) Ayşe teyzenin en az kaç cevizi vardır

b) cevizlerin sayısı 100 den fazla ise en az kaç cevizi vardır
@sorumatikbot

2

Ayşe teyzenin ceviz problemleri

a) Ayşe teyzenin en az kaç cevizi vardır?

Cevap:

Bu soruda, Ayşe Teyze’nin ceviz sayısının 6 ve 9’a bölündüğünde her seferinde 2 fazlasının kalması gerektiği belirtiliyor. Yani, ceviz sayısı (x) ise:

  • (x \equiv 2 \pmod{6})
  • (x \equiv 2 \pmod{9})

Bu iki durumu birleştirirsek, (x) sayısı hem 6 hem de 9’un ortak katı olan bir sayıya 2 eklenerek bulunabilir. 6 ve 9’un ortak katı, 18’dir. Bu durumda:

  • (x = 18k + 2) şeklinde bir denklem elde ederiz. Burada (k) bir tam sayıdır.

Ayşe Teyze’nin en az cevizi olduğu durumu bulmak için (k = 0) değerlendiririz:

  • (x = 18(0) + 2 = 2)

Burada 2 ceviz olması durumu mantıklı olmadığı için, ilk 18’den başlayarak ilerlemeliyiz:

  • (x = 18(1) + 2 = 20)

20, Ayşe Teyze’nin cevizlerini altışar ve dokuzar saydığında 2 fazla kalan en küçük cevizi temsil eder.

b) Cevizlerin sayısı 100’den fazla ise en az kaç cevizi vardır?

Cevap:

Bu kez aynı denklemi kullanarak (x = 18k + 2) olacak şekilde (x > 100) şartını sağlamamız gerekiyor.

  • (18k + 2 > 100)

Bu denklemi çözersek:

  • (18k > 98)
  • (k > \frac{98}{18} \approx 5.44)

Tam sayı (k) değeri alması gerektiği için (k = 6) alınır:

  • (x = 18(6) + 2 = 110)

110, Ayşe Teyze’nin ceviz sayısının 100’den fazla olan ve belirtilen şartları sağlayan en küçük değeridir.

Özet:

  • a) Ayşe Teyze’nin en az 20 cevizi vardır.
  • b) Ceviz sayısı 100’den fazla ise en az 110 cevizi vardır.
3

5cm. 8cm

Yukarıdaki çubuklar aynı hizadan başlayacak şekilde uç uca ekleniyor çubukların diğer uçları da ilk kez aynı hizaya geldiğinde toplam kaç Çubuk kullanılmıştır

Okulda Asuman öğretmen 8 günde bir Ayşe öğretmen ise 12 günde bir nöbet tutmaktadır birlikte nöbet tuttuktan en az kaç gün sonra tekrar birlikte nöbet tutarlar

4

Çubukların Uç Uca Eklenmesi Problemi

Cevap:

İki çubuğun uzunlukları 5 cm ve 8 cm. Çubukları uç uca ekleyerek aynı hizaya getirmek için, bu iki uzunluğun ortak katını bulmamız gerekiyor.

Ortak kat için en küçük ortak kat (EKOK) yöntemini kullanırız.

1. Çubuklar:

  • Çubuk 1: 5 cm
  • Çubuk 2: 8 cm

2. En Küçük Ortak Kat (EKOK):

EKOK(5, 8) hesaplanır:

  • 5 ve 8’in asal çarpanları: 5 ve 2x2x2
  • EKOK(5, 8) = 5 x 2 x 2 x 2 = 40

Çubukların toplam uzunluğu 40 cm olduğunda yine aynı hizaya gelirler.

Her çubuğun kendi uzunluğu kadar eklenmesi gerekir, bu durumda:

  • 40 cm’yi oluşturmak için:
    • 5 cm çubuklarından: ( \frac{40}{5} = 8 ) tane
    • 8 cm çubuklarından: ( \frac{40}{8} = 5 ) tane

Toplamda, 8 + 5 = 13 çubuk kullanılır.

Nöbet Problemi

Cevap:

Asuman öğretmen 8 günde bir, Ayşe öğretmen ise 12 günde bir nöbet tutuyor. İkisi birlikte nöbet tuttuktan sonra tekrar birlikte nöbet tutmaları için yine en küçük ortak kat (EKOK) yöntemini kullanırız.

Nöbet Günleri:

  • Asuman: 8 gün
  • Ayşe: 12 gün

En Küçük Ortak Kat (EKOK):

EKOK(8, 12) hesaplanır:

  • 8 ve 12’nin asal çarpanları: 2x2x2 ve 2x2x3
  • EKOK(8, 12) = 2 x 2 x 2 x 3 = 24

Birlikte nöbet tutuktan en az 24 gün sonra tekrar birlikte nöbet tutarlar.

Özet:

  • Çubuk probleminde 13 tane çubuk kullanılır.
  • Nöbet probleminde 24 gün sonra birlikte nöbet tutarlar.
5

Kümesteki tavuklar 6’şarlı ve sekizerli sayıldığında hiç tavuk artmamaktadır tavuk sayısını 80’den fazla olduğu bilindiğine göre bu kümeste en az kaç tavuk vardır

6

Kümesteki Tavuk Problemi

Cevap:

Kümesteki tavukların sayısı hem 6’ya hem de 8’e bölündüğünde kalan 0 olacak şekilde verilmiş. Bu, tavuk sayısının 6 ve 8’in katı olduğu anlamına gelir. En küçük ortak katı (EKOK) bularak tavuk sayısını hesaplayabiliriz.

1. Tavukların Bölündüğü Sayılar:

  • 6
  • 8

2. En Küçük Ortak Kat (EKOK):

EKOK(6, 8) hesaplanır:

  • 6 ve 8’in asal çarpanları: 2x3 ve 2x2x2
  • EKOK(6, 8) = 2 x 2 x 2 x 3 = 24

Bu durumda, tavuk sayısı 24’ün katı olmalıdır.

3. Şartların Sağlanması:

Tavuk sayısının 80’den fazla olması gerektiği belirtilmiş. Bu durumda:

  • 24’ün katlarını yazarız: 24, 48, 72, 96, 120…

80’den büyük ve en küçük 24’ün katı 96’dır.

Bu nedenle, kümeste en az 96 tavuk bulunmaktadır.

Özet: Kümesteki tavuk sayısı 80’den büyük olacak şekilde en az 96 olabilir.

7

9 ile 33’ün bölenleri

8

9 ile 33’ün Bölenleri

Cevap:

1. 9’un Bölenleri:

9’u bölen sayılar, 9’u tam olarak bölen pozitif sayılardır.

  • 1
  • 3
  • 9

2. 33’ün Bölenleri:

33’ü bölen sayılar, 33’ü tam olarak bölen pozitif sayılardır.

  • 1
  • 3
  • 11
  • 33

Özet:

  • 9’un bölenleri: 1, 3, 9
  • 33’ün bölenleri: 1, 3, 11, 33