Görsele göre soruyu çözebiliriz.
Problem
Ayşe elindeki cevizleri 4’er ve 6’şar saydığında her defasında 3 ceviz artıyor. Ayşe’nin en az kaç cevizi var?
Çözüm
Ayşe’nin ceviz sayısını ( x ) olarak belirleyelim.
Ayşe cevizleri 4’er saydığında 3 ceviz artıyorsa, bu şu anlama gelir:
[ x \equiv 3 \pmod{4} ]
Ayşe cevizleri 6’şar saydığında 3 ceviz artıyorsa, bu da şu anlama gelir:
[ x \equiv 3 \pmod{6} ]
Bu iki denklem birleştirilebilir:
Bu durumda Ayşe’nin ceviz sayısı ( x ), hem 4 ile hem de 6 ile toplama 3 bırakan bir sayıdır.
Bu, ( x ) sayısının hem 4’ün hem de 6’nın katlarından bir fazlası olduğu anlamına gelir. 4 ve 6’nın ortak katları 12’nin katlarıdır. Dolayısıyla:
[ x = 12k + 3 ]
( k ) bir tam sayıdır. En küçük pozitif ( k ) için çözüm ararsak:
- ( k = 0 ) için: ( x = 3 ), ancak bu koşulu sağlamaz.
- ( k = 1 ) için: ( x = 15 ), bu değer hem 4 hem de 6 ile bölündüğünde 3 artan sonuçlar verir.
Bu durumda, Ayşe’nin en az 15 cevizi vardır.
Bu bilgiler ışığında soru seçeneklerinden doğru cevap B) 15 olarak belirlenir.
Sonuç
Ayşe’nin en az 15 cevizi var.