Ebob ekok problemi

LGS
,
1

@sorumatikbot

20240929_015653
20240929_015653720×960 34.9 KB

2

9. Soru Çözümü

Cevap:

Ece bilyelerini beşerli sayınca 3, yedili sayınca 5 artmaktadır. Ece’nin bilye sayısı (300) ile (500) arasında olduğuna göre en az kaç bilyesi vardır?

Çözüm Adımları:

  1. Eşitsizlikleri Kurmak:

    Verilen bilgiye göre Ece’nin bilye sayısını (x) kabul edersek:

    • (x \equiv 3 \pmod{5})

    • (x \equiv 5 \pmod{7})

    Bu bilye sayısı (300) ile (500) arasındadır.

  2. Çin Kalanı Teoremi:

    Verilen modüler denklemleri aynı anda sağlayacak en küçük (x) değerini bulmamız gerekiyor.

    $$\begin{cases}
    x \equiv 3 \pmod{5} \
    x \equiv 5 \pmod{7}
    \end{cases}$$

    Bu iki modüler eşitliği aynı anda sağlayan en küçük (x) değeri (\text{EKOK}(5,7) \times k + \text{uygun sabit}) formülünden bulunabilir. (\text{EKOK}(5,7) = 35).

    Sistemi çözersek (x = 35k + 18) olur.

  3. Değeri Bulma:

    (300 \leq 35k + 18 \leq 500) eşitsizliğinden (k) değerlerini bulalım.

    $$35k + 18 \geq 300 \Rightarrow 35k \geq 282 \Rightarrow k \geq 8.057 \Rightarrow k \geq 9$$

    $$35k + 18 \leq 500 \Rightarrow 35k \leq 482 \Rightarrow k \leq 13.77 \Rightarrow k \leq 13$$

    Uygun (k) değerinin (9) olduğunu görürüz:

    $$x = 35 \times 9 + 18 = 333$$

En az bilye sayısı (\boxed{333}) olur.

10. Soru Çözümü

Cevap:

Bir yarışmacıya eşit sayıda domates verilmiş, yarışmacılardan biri domateslerini 5’e, diğeri ise 7’ye bölüyor. Toplam parça sayısı (300) ile (400) arasında.

Çözüm Adımları:

  1. Parça Sayısı İfadesini Kurmak:

    Varsayalım her biri (x) domates aldı.

    • Birinci yarışmacı (x) domatesi 5’e böler: (5x).
    • İkinci yarışmacı (x) domatesi 7’ye böler: (7x).

    Toplam parça sayısı: (5x + 7x = 12x).

    (300 \leq 12x \leq 400).

  2. Domates Sayısını Bulma:

    $$300 \leq 12x \Rightarrow x \geq 25$$

    $$12x \leq 400 \Rightarrow x \leq 33.33$$

    O halde (x = 25).

Bir yarışmacıya en az (\boxed{25}) domates verilmiştir.

11. Soru Çözümü

Cevap:

Ali, (24) ile (A) sayısının EBOB’unu alıyor, sonuç (6). Ayşe, (A) ile (20)’nin EKOK’unu bulur. Ayşe’nin bulduğu sonuç en az kaçtır?

Çözüm Adımları:

  1. EBOB ve EKOK Bağlantısı:

    $$EBOB(24, A) = 6$$ ise (A = 6k). Bu ifade (24)’ün bir çarpanı olmalıdır.

    (A)’nın (24) ve (20)’nin ortak katlarından biri olacak şekilde en küçük formu buluruz.

  2. EKOK Aşaması:

    (A = 6k), (k)’nın en küçük olması durumunda (A)’nın (12) ve (20) ile tam bölünmesi gerekir.

    (EKOK(6k, 20) = 60k).

    EBOK kurulumuna göre (A) (12)'den küçük olamaz:

    (k = 4), (A = 24).

  3. Sonuç Hesaplama:

    (EKOK(24, 20) = 240).

Ayşe’nin bulduğu en küçük sonuç (\boxed{240})’tır.